Astronomia (AST0001) · Curso de Física · UDESC
Órbitas elípticas e as leis de Kepler
Aula 4 · Capítulo 4 · quanta arquitetura cabe deduzir só de ângulos
Prof. Dr. Rafael Camargo Rodrigues de Lima · 2026/2
O que esta aula responde
- Que curva é uma elipse, antes de haver qualquer força
- As três leis como Kepler as deixou: descritivas, tiradas dos dados de Tycho
- Como medidas de direção viram período, distância e órbita
- Por que o planeta às vezes anda para trás no céu
- O que o laboratório pede — e a armadilha que ele evita
Nenhuma força aparece nesta aula. A explicação é a Aula 5.
Kepler antes de Newton, de propósito
- Kepler publica a primeira e a segunda lei em 1609, a terceira em 1619
- Newton explica todas em 1687 — 78 anos depois
- Nesta aula ficamos do lado de cá: descrição, sem causa
- É o que um observador com um sextante e paciência consegue
A ordem importa: a elipse é um fato observacional muito antes de ser consequência de uma lei de força.
Primeiro a curva, depois o céu
elipse → leis de Kepler → medidas angulares → laboratório
Três propriedades da elipse voltam na Aula 5, quando a órbita sair da gravitação: a equação polar, a relação entre os semieixos e a área.
Lá elas são usadas; aqui são provadas. É por isso que vêm primeiro.
A definição focal
Dois pontos fixos, uma soma constante. Nada mais. O Sol ocupará um dos focos — o outro fica vazio, sem nada de físico nele.
Excentricidade
Em e = 0 os focos coincidem e a curva é uma circunferência. Quanto mais separados os focos, mais alongada a elipse.
Periélio e afélio
O semieixo maior é a média aritmética das distâncias extremas — não a distância média ao longo do tempo. A distinção volta na terceira lei.
A geometria da elipse
(a) A soma FP + F′P vale 2a em qualquer ponto. (b) Com o Sol em um foco, θ é medido a partir do foco ocupado e da direção do periélio: é a anomalia verdadeira.
Explorar: a soma que não muda
Mude e: as parcelas da barra deslizam, o total não. E o que denuncia a excentricidade é o Sol fora do centro.
A equação polar, em três passos
- Lei dos cossenos no triângulo dos dois focos e o planeta
- O ângulo em F, o foco ocupado, vale 180° − θ
- A definição focal fornece a segunda equação: r₁ = 2a − r
- O termo r² cancela; divide-se por 4a
É a única dedução da aula em que o desenho decide tudo. Errar o vértice do ângulo é o modo clássico de não fechar a conta.
A equação polar da elipse
Confira nos extremos: θ = 0 dá a(1−e) = R_p; θ = 180° dá a(1+e) = R_a. O numerador a(1−e²) é o semi-latus rectum.
O semieixo menor
No extremo do eixo menor as duas distâncias focais são iguais e somam 2a — logo valem a cada uma. O triângulo retângulo faz o resto.
E a forma familiar
Mesma curva, origem no centro em vez do foco.
A área
Necessária duas vezes adiante: na lei das áreas e, na Aula 5, na dedução da terceira lei. Em a = b devolve πa², como deve.
As três leis, como Kepler as enunciou
I — órbitas. A órbita de um planeta é uma elipse com o Sol em um dos focos.
II — áreas. A reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.
III — harmônica. O quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior.
Descritivas, extraídas dos dados de Tycho Brahe, sem nenhuma explicação de causa.
A lei das áreas, em símbolos
Perto do periélio o planeta corre mais e cobre um ângulo grande com raio curto; perto do afélio faz o oposto.
Explorar: áreas iguais, ângulos diferentes
Douradas: área por intervalo, todas iguais. Azuis e cianas: ângulo e arco nos mesmos intervalos — e variam muito.
A lei harmônica
Medindo P em anos e a em UA, a constante vale 1. Não é mágica: é calibrar a lei pela própria Terra.
As leis de Kepler
(a) Órbita de e = 0,55: os dois setores sombreados, percorridos no mesmo intervalo, têm a mesma área. (b) Os oito planetas e os quatro satélites galileanos — mesma inclinação 3/2, coeficientes diferentes.
A terceira lei nos oito planetas
| Planeta | a (UA) | P (anos) | a³ | P² |
|---|
| Mercúrio | 0,387 | 0,241 | 0,058 | 0,058 |
| Vênus | 0,723 | 0,615 | 0,378 | 0,378 |
| Terra | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 |
| Marte | 1,524 | 1,881 | 3,537 | 3,538 |
| Júpiter | 5,203 | 11,863 | 140,8 | 140,7 |
| Saturno | 9,537 | 29,447 | 867,4 | 867,2 |
O pequeno déficit de P² em Júpiter e Saturno não é arredondamento: a lei exata traz a soma das massas no denominador. Kepler não podia ver isso. A Aula 5 mostra de onde vem.
Explorar: a corrida
Cada corpo entra no gráfico ao fechar a primeira volta. Troque para as luas de Júpiter: mesma inclinação 3/2, outro coeficiente.
Júpiter e suas luas: a mesma lei, outro centro
Os quatro satélites galileanos obedecem a P² ∝ a³ com um coeficiente diferente — e é o coeficiente que carrega a massa do corpo central. Imagem: NASA/JPL-Caltech/SwRI/MSSS, Juno.
Do céu observado à órbita
O laboratório não entrega a órbita vista de cima. Entrega direções — que é o que um observador de fato tem.
A partir daqui: como converter ângulos em período, em distância e em arquitetura orbital.
Retomando, em uso, o que o Capítulo 1 estabeleceu sobre coordenadas.
Três tipos de grandeza, e não se misturam
- Eclípticas (λ, β): boas para a dinâmica orbital
- Equatoriais (α, δ): boas para catálogos e telescópios
- Horizontais (A, h): dependem do lugar, da hora e da latitude
λ(t) responde “onde o planeta está na órbita”. h(t) responde “dá para ver agora”. São perguntas diferentes.
A altura, já deduzida no Capítulo 1
H = θLST − α. Acima do horizonte quando h > 0°. Uma posição orbital ótima não garante observação nenhuma.
Elongação solar
Oposição: E ≃ 180°, planeta e Sol em lados opostos do céu, visível a noite toda. Conjunção: E ≃ 0°, perdido no brilho do Sol.
Movimento direto e retrógrado
Δλ > 0 é movimento direto; Δλ < 0 é retrógrado. Cuidado com a passagem por 0°: use a diferença embrulhada.
O laço retrógrado de Marte
Perto da oposição a Terra passa o planeta por dentro, e a direção aparente inverte por algumas semanas. Foi este laço que os epiciclos existiam para descrever.
Período sinódico e período sideral
Acima, planeta externo; abaixo, interno. S é o que se mede — o intervalo entre oposições sucessivas. P é o que se quer.
Um aviso que o roteiro leva a sério
- A inversão é mal condicionada quando S se aproxima de um ano
- Saturno: S ≃ 378 dias, e um dia de erro desloca P em 7%
- Júpiter: 2,6%. Marte: 0,1%
- A saída é a média de dezenas de oposições — e aí os três fecham dentro de 0,1%
É subtração de números quase iguais. O laboratório cobre 60 anos justamente para permitir a média.
Maior elongação: a órbita de um planeta interno
Na maior elongação a linha de visada tangencia a órbita, e o ângulo no planeta é reto. Geometria pura: nenhum período entra.
Mas a excentricidade espalha as máximas
Em Vênus (e = 0,007) a faixa tem 2° e tanto faz. Em Mercúrio (e = 0,206) ela vai de 18° a 28° — e usar só a maior erra a por 20%.
As elongações máximas, medidas
À esquerda, Vênus: todas as máximas na mesma linha. À direita, Mercúrio: espalhadas pela faixa inteira. O que estima a é a média, não a maior.
Explorar: elongação, as duas vistas
A geometria de cima e o céu, no mesmo instante: a elongação é o ângulo de vértice na Terra.
O laboratório
Janela de 22 000 dias, cerca de sessenta anos — o bastante para duas órbitas de Saturno.
Os sete experimentos
- Caderno de Marte: λ(t), direto e retrógrado
- Período sinódico e sideral, pela média de várias oposições
- O teste da terceira lei, com Mercúrio e Vênus
- Maior elongação e o efeito da excentricidade
- Aplicar a lei aos externos — e notar que ali ela é usada, não testada
- Opcional: triangular Marte como Kepler fez
- Altura, ascensão reta e janela observacional
A entrega declara quantas oposições foram usadas, e deixa claro que a e P saíram de medidas independentes.
A armadilha que o roteiro evita
Se você obtém a de P por a = P2/3 e depois calcula P²/a³…
o resultado é exatamente 1 — para qualquer P
inclusive para um planeta inventado. Um teste que não pode falhar não é um teste.
Por isso o teste é feito com Mercúrio e Vênus, onde a vem da elongação e P vem do tempo — duas medidas que não se conversam.
O que torna o teste um teste
a da média das elongações máximas; P dos intervalos entre conjunções inferiores. Nenhuma das duas usa a terceira lei.
O resultado
Cinco planetas, a e P medidos separadamente, sobre a reta P = a^(3/2). Mercúrio fecha em P²/a³ = 1,05 e Vênus em 1,00.
Como o painel está organizado
- Observação — o mapa do céu, o planeta escolhido, e os controles: data, hora sideral e latitude
- Inferência de Kepler — os gráficos de λ(t) e de elongação, que se preenchem com o que você registrou
- Caderno de dados — a tabela das observações, com todas as colunas
- Template de Relatório — gera o artigo em LaTeX com os seus dados
Os quatro botões de ação — registrar, exportar, limpar registros e limpar régua — ficam juntos no painel de instrumentos, abaixo da régua angular.
A tela do laboratório
1 as abas ·
2 o mapa do céu ·
3 planeta, data, hora sideral, latitude ·
4 os botões de ação —
abrir ao vivo
Passo a passo: montar o caderno
- Escolha o planeta no seletor
- Ponha a data no dia 0
- Clique em Registrar observação
- Avance a data de 20 a 30 dias
- Registre de novo — e repita
- Três anos de Marte pedem umas 40 entradas
- Confira na aba Caderno de dados
- Exporte o CSV antes de fechar a página
O caderno vive só na memória do navegador: fechar a aba apaga tudo. Exporte, ou gere o template, antes de sair.
Passo a passo: os números que a entrega pede
- Oposições: avance a data e observe a coluna de elongação passar perto de 180°
- Anote a data de cada uma — quanto mais, melhor
- Tire a média dos intervalos: esse é S
- Para externo, 1/P = 1 − 1/S
- Internos: registre elongações em muitas datas
- Colecione todas as máximas locais
- a ≃ sen(média delas)
- Só então calcule P²/a³
Conjunção inferior e superior dão elongação zero: distinga pelo tamanho aparente do planeta no mapa. É entre as inferiores que se mede o período sinódico.
O artigo sai pronto do painel
Na aba Template de Relatório, escreva os nomes do grupo — até três — e clique em Gerar template. O laboratório salva:
- main.tex no modelo de artigo da disciplina, com o resumo já apontando quantas observações você registrou
- as figuras do céu, de λ(t) e da elongação
- a tabela das observações e a do teste da terceira lei
- o CSV do caderno e o logotipo
As figuras e as tabelas já vêm referenciadas no texto. Envie a pasta ao Overleaf e compile duas vezes. Registre as observações antes de gerar: o template leva as que estiverem no caderno naquele momento.
A aba do template
Três campos e um botão. O navegador pede uma pasta e salva tudo lá.
O que entregar — e o que custa nota
- O caderno exportado e o gráfico λ(t) de Marte, com os intervalos retrógrados marcados
- S e P de um externo, declarando quantas oposições entraram na média
- A tabela do teste para Mercúrio e Vênus, deixando claro que a e P são independentes
- A previsão de a para os externos, dita como previsão
Os três erros mais caros: obter a de P e chamar isso de teste; usar uma oposição de Saturno; e pegar a maior elongação de Mercúrio em vez da média.
O que fica do Capítulo 4
- A elipse é geometria: focos, excentricidade, e três propriedades que a Aula 5 vai usar
- As três leis descrevem as órbitas sem explicar nenhuma — e isso é uma etapa legítima da física
- Ângulos medidos do chão bastam para extrair período, raio orbital e a arquitetura do Sistema Solar
- Medir independentemente é o que separa um teste de uma tautologia
Laboratório:
laboratorio-capitulo-4. Na Aula 5: entra a gravitação, as três leis passam a ser deduzidas de uma única equação de movimento — e uma órbita medida vira uma massa em quilogramas.
