Relatividade Geral · UDESC/CCT · Capítulo 1
Relatividade
especial
A geometria do espaço-tempo plano. O intervalo como grandeza invariante, e o tempo próprio como o que um relógio de fato mede.
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Roteiro
O caminho deste capítulo
| Aula | Assunto |
|---|---|
| 1 | Newton e Einstein · eventos e intervalo |
| 2 | Tempo próprio · transformações de Lorentz |
| 3 | O que se mede · diagramas de Minkowski · gêmeos |
| 4 | A velocidade invariante · problemas · oficina |
A pergunta que organiza tudo
Se a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, o que mais precisa mudar?
A resposta custa o tempo absoluto de Newton — e é isso que o capítulo cobra.
Aula 1 · Seção 1.1
Duas visões de mundo
A maior dificuldade do curso não está na matemática — está em desmontar hipóteses que parecem óbvias por nunca terem sido enunciadas.
| Newton | Einstein | |
|---|---|---|
| Tempo | absoluto, universal | relativo ao observador |
| Espaço | palco fixo | inseparável do tempo |
| Simultaneidade | absoluta | depende do referencial |
| Velocidade máxima | não existe | c, igual para todos |
| Invariante | tempo e distância, separados | o intervalo, que os combina |
| Gravidade | força instantânea | curvatura (Relatividade Geral) |
Aula 1 · Seção 1.1
O que Maxwell já dizia
São estas duas que se acoplam: o rotacional de cada campo alimenta a derivada temporal do outro. Sozinhas, as de divergência não propagam nada.
No vácuo, \rho=0 e \mathbf{J}=0. Tome o rotacional da lei de Faraday e substitua Ampère–Maxwell:
Passando por \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E}, cujo primeiro termo morre porque \nabla\cdot\mathbf{E}=0. Uma equação de onda — e a mesma conta, trocando os papéis, dá a de \mathbf{B}.
\varepsilon_0 e \mu_0 se medem com capacitores e ímãs parados na bancada, sem nenhuma referência a movimento. E a velocidade que sai delas é a da luz. Em relação a quê? As equações não dizem.
Aula 1 · Seção 1.1
A transformação de Galileu
A segunda equação apenas desconta o quanto a origem andou. A primeira é a hipótese forte — e passa despercebida justamente por parecer óbvia.
Consequência imediata: velocidades se somam, u'=u-v.
Onde quebra
Aplique a um pulso de luz: u=c daria u'=c-v. Quem corresse junto veria a luz parada.
Maxwell diz que não, e Michelson–Morley mede que não.
Aula 1 · Seção 1.1
Os dois postulados
- As leis da física têm a mesma forma em todos os referenciais inerciais — o princípio da relatividade, que já valia para Newton.
- A velocidade da luz no vácuo vale c em todos os referenciais inerciais, independentemente do movimento da fonte ou do observador.
A culpada é t'=t, e não x'=x-vt. Enquanto o tempo não participar da transformação, só sobra a posição para ajustar — insuficiente para manter c fixo.
O preço é a simultaneidade deixar de ser absoluta. É inegociável.
Aula 1 · Seção 1.2
Evento e intervalo
Um evento é algo que ocorre em um ponto e em um instante:
O intervalo entre dois eventos próximos é
\mathrm{d}s^2 é invariante sob transformações de Lorentz. Essa invariância substitui o tempo absoluto de Newton no papel de referência comum a todos.
Convenção de sinais: (-,+,+,+). Unidades com c=1.
De agora em diante, o espaço por si só e o tempo por si só estão condenados a desvanecer-se em meras sombras, e somente uma espécie de união dos dois conservará realidade independente.
Aula 1 · Seção 1.2
O relógio de luz
Em S, o caminho do pulso é \sqrt{4L^2+\Delta x^2}. Como a luz também viaja com velocidade 1 aqui — é a única vez que o postulado entra — esse caminho é numericamente o tempo:
O mesmo número nos dois referenciais.
Aula 1 · Seção 1.2
Uma hipótese que precisa de defesa
A conta supôs que L, transversal ao movimento, é a mesma nos dois referenciais. Isso não é gratuito.
Dois anéis idênticos aproximam-se ao longo do eixo comum. Se o movimento encolhesse comprimentos transversais, cada observador diria que o anel do outro é menor e preveria que o seu passa por fora.
Mas qual anel passou dentro de qual é um fato absoluto — fica registrado em qualquer marca de raspagem.
A única possibilidade consistente é que comprimentos perpendiculares ao movimento não mudem.
Aula 1 · Seção 1.2
O que o sinal do intervalo diz
| Sinal | Separação | Existe referencial em que… |
|---|---|---|
| \mathrm{d}s^2<0 | temporal | os eventos ocorrem no mesmo lugar |
| \mathrm{d}s^2=0 | nula | um raio de luz os liga |
| \mathrm{d}s^2>0 | espacial | são simultâneos |
Como o valor é invariante, o sinal também é: dois observadores nunca discordam se um evento pode influenciar o outro.
Aula 1 · Seção 1.2
Invariante não é constante
Invariante significa que observadores diferentes, medindo o mesmo par de eventos, obtêm o mesmo número.
Não significa que \mathrm{d}s^2 tenha o mesmo valor para pares de eventos diferentes.
E a invariância é da combinação: tomados isoladamente, \mathrm{d}t e \mathrm{d}x mudam de referencial para referencial — e é precisamente por isso que dilatação do tempo e contração do comprimento existem.
Aula 2 · Seção 1.3
Tempo próprio
Ao longo da linha de mundo de uma partícula massiva, \mathrm{d}s^2<0. Define-se
No referencial que acompanha a partícula, \mathrm{d}x=0 e sobra \mathrm{d}\tau=\mathrm{d}t: \tau é o tempo marcado pelo relógio que viaja com ela.
Para quem não viaja junto, com velocidade v:
Duas linhas de conta, nenhuma hipótese nova. A dilatação do tempo não é um efeito à parte — é a leitura desta equação.
Aula 2 · Seção 1.4
Diagnóstico de Galileu
Com t'=t e x'=x-vt:
Sobrou -2v\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x+v^2\mathrm{d}t^2: Galileu não preserva o intervalo.
O vilão é o termo cruzado \mathrm{d}t\,\mathrm{d}x. Para eliminá-lo, a nova coordenada temporal precisa conter um pedaço de x — e é exatamente isso que a transformação correta vai fazer.
Aula 2 · Seção 1.4
Deduzindo Lorentz
Por homogeneidade, a transformação é linear: t'=At+Bx, x'=Ct+Dx. Duas condições fixam tudo.
1 · A origem de S' move-se com v
x'=0 \Leftrightarrow x=vt \Rightarrow C=-Dv
2 · O intervalo é invariante
Isolando B na terceira e levando à segunda: D^2(A^2-D^2v^2)=A^2, e o parêntese vale 1. Logo D^2=A^2.
D=-A comporia com uma reflexão e não tende à identidade quando v\to0 — fica A=D\equiv\gamma.
Aula 2 · Seção 1.4
O limite newtoniano não é v\to0
Restaurando c:
Os dois termos cruzados não são da mesma ordem: um carrega 1/c^2, o outro não.
O limite newtoniano é c\to\infty com v fixo — e não v\to0, que daria a identidade.
Aí \gamma\to1, o termo vx/c^2 desaparece, e sobra Galileu. O que morre é justamente o termo de simultaneidade.
Aula 3 · Seção 1.5
Um comprimento é uma medida simultânea
Uma barra em repouso em S' tem comprimento próprio L_0. Em S, onde ela desliza, medir significa registrar as duas extremidades no mesmo instante: \Delta t=0.
De x'=\gamma(x-vt), com \Delta t=0:
Por que \gamma troca de lugar?
No tempo, os eventos ocorrem no mesmo lugar do referencial próprio (\Delta x'=0). No comprimento, ocorrem ao mesmo tempo do referencial que mede (\Delta t=0). São condições diferentes, em lados diferentes da transformação.
Quem decora erra; quem pergunta "o que está fixo?" acerta.
Aula 3 · Seção 1.5
Nenhum dos dois está enganado
A contração é recíproca — e isso não é contradição, pela mesma razão que a dilatação recíproca não é: cada observador mede um par de eventos diferente.
Quando S registra as duas pontas simultaneamente segundo o seu relógio, esses registros não são simultâneos para S' — que vê S medir a ponta da frente e a de trás em instantes distintos.
Nada disso significa que "o tempo fica lento" ou que "a barra encolhe" em sentido absoluto. Tempo próprio e comprimento próprio são propriedades dos objetos, e ninguém discorda deles. O que depende do observador é o resultado de uma medida que envolve simultaneidade.
Aula 3 · Seção 1.5
Velocidades não se somam
Dividindo uma linha da transformação pela outra — os \gamma se cancelam:
A luz é ponto fixo
u=1 \Rightarrow u'=\dfrac{1-v}{1-v}=1 para qualquer v.
O segundo postulado reaparece — agora como teorema.
A barreira é algébrica
Se |u|<1 e |v|<1, o lado direito é positivo. Nenhuma composição de subluminais escapa.
Aula 3 · Seção 1.6
Os eixos de S'
Eixo t': os eventos com x'=0, ou seja x=vt — a própria linha de mundo da origem de S'.
Eixo x': os eventos com t'=0, ou seja t=vx — o que S' considera simultâneo.
Os dois se fecham sobre a linha de luz, pelo mesmo ângulo \arctan v, em sentidos opostos.
É dessa tesoura que sai visualmente a relatividade da simultaneidade.
Aula 3 · Seção 1.6
Falta a escala
Saber a direção dos eixos não basta: é preciso saber onde fica t'=1. E aqui a intuição euclidiana atrapalha — o papel é euclidiano, o espaço-tempo não. Não se marca a unidade com régua.
Quem resolve é o próprio invariante:
Uma hipérbole com assíntotas t=\pm x — o cone de luz. Todos os seus pontos estão à mesma distância de Minkowski da origem, para qualquer observador. Logo ela cruza o eixo t' exatamente onde t'=1.
No papel a unidade de t' parece maior: a interseção está em (\gamma,\gamma v), à distância euclidiana \gamma\sqrt{1+v^2}>1. O papel mede comprimentos euclidianos; a física mede intervalos.
Aula 3 · Seção 1.6
As hipérboles em ação
v = 0,60 · \gamma = 1,250
Arraste e repare no que não se mexe: as hipérboles. Elas são o lugar dos eventos à mesma distância de Minkowski da origem, e essa distância é a mesma para todo observador.
O que gira são os eixos, e as marcas de unidade deslizam sobre hipérboles paradas. Não é que cada observador tenha a sua régua: é uma régua só, lida de ângulos diferentes.
Os ramos 2 e 3 estão apagados de propósito — a família continua, mas quem calibra o eixo é o primeiro.
Aula 3 · Seção 1.7
Paradoxo dos gêmeos
Não é contradição porque as duas linhas de mundo entre "partida" e "reencontro" não são equivalentes.
As marcas na figura são intervalos iguais de tempo próprio. O viajante acumula visivelmente menos, percorrendo o mesmo par de eventos.
Aula 3 · Seção 1.7
A inercial é a de maior tempo próprio
Num referencial em que os dois eventos ocorrem no mesmo lugar, qualquer linha de mundo temporal ligando-os acumula
com igualdade se e somente se v(t)=0 sempre — exatamente a reta inercial.
A desigualdade triangular se inverte
No plano, o caminho reto é o mais curto. No espaço-tempo, a linha de mundo reta é a mais longa em tempo próprio. Desviar custa relógio.
O viajante não envelhece menos por causa da aceleração — envelhece menos porque desviou. A conta acima não menciona aceleração nenhuma: basta conhecer v(t).
Aula 3 · Seção 1.7
Afastar-se é relativo.
Desviar não é.
Durante a ida, a simetria é perfeita: cada irmão pode legitimamente dizer que está parado e que o outro se afasta. Nenhum dos dois está enganado, e não há como eleger um.
Se eles nunca mais se reencontrassem, não haveria paradoxo nenhum — não haveria nada a comparar.
E para saber quem desviou nenhum dos dois precisa olhar para o outro: basta um acelerômetro, ou um copo d'água. Só um deles sente a virada.
O que quebra a simetria
Duas retas distintas no espaço-tempo se cruzam no máximo uma vez.
As linhas de mundo dos gêmeos se cruzam duas — partida e reencontro. Logo pelo menos uma delas não é reta.
É um teorema de geometria, não uma escolha de referencial: nenhum sistema de coordenadas transforma duas retas em algo que se cruze duas vezes.
Aula 3 · Seção 1.7
Um desconto no relógio
É literalmente assim que se viaja para o futuro, e não há outro jeito conhecido. Ver a Terra do ano 3000 gastando dez anos da sua vida é caro, mas é só engenharia — a física já permite.
| Anos na Terra | Anos seus | \gamma | v/c |
|---|---|---|---|
| 10 | 6 | 1,7 | 0,800 |
| 100 | 10 | 10 | 0,99499 |
| 1 000 | 10 | 100 | 0,99995 |
| 100 000 | 20 | 5 000 | 0,99999998 |
E já é medido de rotina
Um múon vive 2{,}2\ \mu\mathrm{s} em repouso — o bastante para 0{,}66 km. A 0{,}999c, com \gamma=22{,}4, percorre 14,75 km: por isso atravessa a atmosfera e chega ao solo.
É de mão única. O tempo próprio só cresce ao longo de uma linha de mundo — dá para adiantar o encontro com o futuro, nunca para voltar.
Aula 4 · Seção 1.8 · aprofundamento
E se ninguém falasse de luz?
A velocidade da luz entrou como postulado, quase por decreto. Seria possível chegar à mesma estrutura sem mencioná-la?
Três hipóteses, nenhuma sobre luz:
- Homogeneidade — nenhum ponto ou instante é privilegiado (⇒ a transformação é linear);
- Isotropia — nenhuma direção é privilegiada;
- Princípio da relatividade — a transformação de S' para S tem a mesma forma, com v\to-v.
É o argumento de Ignatowski (1910). Schutz não o faz.
Aula 4 · Seção 1.8
Uma única constante sobrevive
A forma geral é x'=\gamma(x-vt), t'=\gamma(t-\beta x). O princípio da relatividade exige que a inversa seja a direta com v\to-v, o que dá \gamma^2(1-\beta v)=1; e a composição de duas transformações ser do mesmo tipo força \beta/v a não depender de v. Chame-o de K:
| Caso | Resultado |
|---|---|
| K=0 | Galileu — não é rival, é o caso particular |
| K>0 | escreva K=1/c^2: existe velocidade invariante |
| K<0 | rotações euclidianas — nenhuma ordem causal sobrevive |
Aula 4 · Seção 1.8
Onde o experimento entra
O ponto não é dispensar o experimento — K tem de ser medido, e é. O ponto é onde ele entra.
Ele não determina a forma das equações, já fixada por homogeneidade, isotropia e relatividade sozinhas. Determina apenas o valor de um número.
E, medido K>0, a existência de uma velocidade invariante é consequência, não hipótese: ela existiria mesmo que o fóton tivesse massa.
A luz é rápida porque o fóton não tem massa; c é invariante porque o espaço-tempo é assim.
Aula 4 · Seção 1.9
As transformações em forma matricial
Quatro coordenadas numa coluna, a transformação numa matriz:
As duas últimas linhas são a identidade — o boost não mexe nas direções transversais. Toda a física está no bloco 2\times2, e é com ele que os programas trabalham.
Índice repetido, um em cima e um embaixo, está somado. Parece preciosismo para um boost — mas é esta notação que sobrevive aos tensores e à relatividade geral.
A definição, em uma linha
Com \eta=\operatorname{diag}(-1,1,1,1). Exigir isso é exigir que o intervalo se preserve — e tudo o que deduzimos na Seção 1.4 está contido aqui.
Compor vira multiplicar
O produto de dois boosts é um boost. Com a rapidez v=\tanh\varphi a conta some: \Lambda(\varphi)\Lambda(\psi)=\Lambda(\varphi+\psi).
E matrizes não comutam — isso é física. Dois boosts em direções diferentes não dão um boost puro: sobra uma rotação espacial, a rotação de Wigner, que produz a precessão de Thomas do spin do elétron. Sem forma matricial, compor boosts perpendiculares seria quase impraticável.
Aula 4 · Seção 1.10
Problemas orientados
Seis, feitos em aula ou em casa, cada um atacando um mal-entendido específico.
| 1 | Relógio de luz — refazer a dilatação usando apenas a invariância do intervalo |
| 2 | A barra e o celeiro — quatro eventos, dois veredictos, nenhuma contradição |
| 3 | Ordem temporal — inverter a ordem de dois eventos sem violar causalidade |
| 4 | Tempo próprio máximo — a inercial contra uma linha de mundo qualquer |
| 5 | Velocidades transversais — até a aberração estelar, medida em 1728 |
| 6 | Rapidez — o parâmetro que restaura a soma |
Aula 4 · Seção 1.10 · problema 2
A barra e o celeiro
Barra de comprimento próprio L_0, celeiro de L_0/2, com \gamma=2.
O fazendeiro
A barra contrai para L_0/2 e cabe exatamente. As duas portas fecham ao mesmo tempo, com ela inteira dentro.
O piloto
É o celeiro que contrai, para L_0/4. A barra mede L_0 e não cabe de jeito nenhum.
Os dois não podem estar errados sobre um fato: a barra ficou presa ou não ficou. E ficar presa não é o que eles discordam.
Aula 4 · Seção 1.10 · problema 2
A resolução está nos quatro eventos
No celeiro S, com a porta de entrada em x=0 e a de saída em x=L_0/2, ambas fecham em t=0. Aplicando t'=\gamma(t-vx):
Para o piloto, a porta da saída fecha e reabre antes — bem antes de sua ponta dianteira chegar lá. Depois, já com a barra atravessando, a porta da entrada fecha e reabre atrás dela.
A barra nunca está inteira dentro para o piloto, e nunca é atingida por porta nenhuma. Os dois relatos descrevem os mesmos quatro eventos; o que difere é só quais deles são simultâneos.
E se as portas ficassem trancadas? Aí há colisão — e nada de corpo rígido: a notícia do impacto percorre a barra no máximo a c, de modo que a outra ponta ainda não sabe de nada.
Aula 4 · Seção 1.11
Rapidez: o parâmetro que soma
Defina \varphi por v=\tanh\varphi. Então \gamma=\cosh\varphi e \gamma v=\sinh\varphi, e a transformação vira
É uma rotação hiperbólica no plano (t,x) — a mesma forma de uma rotação euclidiana, com seno e cosseno trocados por suas versões hiperbólicas.
E a razão do sinal: rotações preservam x^2+y^2; estas preservam -t^2+x^2.
Boosts sucessivos somam rapidezes:
A lei estranha de composição de velocidades é só \tanh(\varphi_1+\varphi_2) reescrita. A soma nunca sumiu — mudou de variável.
Aula 4 · Seção 1.11
Mais dois exemplos resolvidos
Simultaneidade relativa
Dois eventos com \Delta t=0 e \Delta x=L em S. Em S':
Só é nulo se v=0 ou L=0: eventos simultâneos e separados nunca continuam simultâneos.
Trajetória por partes
Ida com v por T/2, volta com -v por T/2:
Contra T na Terra. A diferença não vem do instante da virada — vem de todo o trajeto em movimento.
O terceiro exemplo, a invariância do cone de luz: se \Delta x=\Delta t em um referencial, o mesmo vale em qualquer outro — porque \Delta s^2=0 é invariante, e zero continua zero por mais que \gamma o multiplique.
Aula 4 · Seção 1.12
Oficina computacional
Boosts — verificar numericamente que \Lambda^{T}\eta\Lambda=\eta, que boosts compõem pela fórmula relativística (e não por soma), e que a rapidez \varphi=\operatorname{artanh}v é aditiva.
Tempo próprio — integrar \tau=\int\sqrt{1-v(t)^2}\,\mathrm{d}t para um perfil suave, sem forma fechada.
Com T=10 e v_0=0{,}8: \tau\approx8{,}13. Usar \gamma da velocidade média daria 8{,}61 — \gamma não comuta com a média.
Fechamento
O que fica
Uma ideia
O intervalo é o que todos os observadores medem igual. Tudo o mais — dilatação, contração, simultaneidade — é consequência.
Uma conta
O relógio que viaja marca menos. Nada além disso é necessário para o paradoxo dos gêmeos.
Uma inversão
No espaço-tempo, a reta é o caminho mais longo em tempo próprio. Desviar custa relógio.
O que vem
Se existe velocidade máxima, nenhuma influência é instantânea — e a gravidade newtoniana, instantânea por construção, fica insustentável.
É o impasse que a Relatividade Geral vem resolver.
Para a próxima aula
Exercícios
Cinco por capítulo, para entrega — dois fáceis, dois médios, um difícil. A marca indica a seção do Schutz que cobre o assunto.
| Assunto | Schutz | |
|---|---|---|
| 1 | Classificar uma separação e achar o referencial simultâneo | 1.6 |
| 2 | Régua e relógio: por que \gamma troca de lugar | 1.8 |
| 3 | Composição de velocidades; nenhuma soma ultrapassa c | 1.10 |
| 4 | Hipérboles invariantes calibrando o diagrama | 1.7 |
| 5 | Duas naves em sentidos opostos — qual par de eventos cada capitão compara? | 1.11 |
E três problemas de Conteúdo extra, que pedem para modificar os programas da página da disciplina: rotação de Wigner, perfis de viagem, e o horizonte de Rindler.
Apêndice interativo · Seção 1.9
Rotação euclidiana: o ângulo soma, a inclinação não
= 1,192 e \tan(\theta_1{+}\theta_2) = 1,192
Repare: em 90^\circ o denominador zera e a inclinação diverge — mas o ângulo não tem nada de especial ali.
| ângulos | |
|---|---|
| \theta_1 | 20° |
| \theta_2 | 30° |
| \theta_1+\theta_2 | 50° — soma trivial |
| inclinações m=\tan\theta | |
| m_1 | 0,364 |
| m_2 | 0,577 |
| m_1+m_2 | 0,941 — errado |
Apêndice interativo · Seção 1.9
Rotação hiperbólica: a rapidez soma, a velocidade não
= 0,9217 e \tanh(\varphi_1{+}\varphi_2) = 0,9217
A fórmula ao lado com um sinal trocado — e é só isso que separa os dois mundos. 1+v_1v_2 nunca zera, e compor subluminais jamais alcança a luz.
| rapidezes | |
|---|---|
| \varphi_1 | 0,80 |
| \varphi_2 | 0,80 |
| \varphi_1+\varphi_2 | 1,60 — soma trivial |
| velocidades v=\tanh\varphi | |
| v_1 | 0,6640 |
| v_2 | 0,6640 |
| v_1+v_2 | 1,3281 — passaria de c |
Apêndice interativo · Seção 1.9
A rapidez tem unidade? Dá para medi-la?
Unidade: nenhuma
Em \varphi=\operatorname{artanh}(v/c) o argumento já é adimensional, e o resultado também — um número puro, como o ângulo em radianos.
E o paralelo é literal: o radiano é o dobro da área do setor circular; a rapidez é o dobro da área do setor hiperbólico. Daí o nome — em \operatorname{artanh} o “ar” é de área, ao contrário do \arctan, que tem arco.
Medir velocidade a distância exige régua e dois relógios sincronizados — ou seja, exige escolher uma simultaneidade. A rapidez escapa disso.
Três medidas que entregam \varphi, não v
Doppler. k=\sqrt{\tfrac{1+v}{1-v}}=e^{\varphi}, logo \varphi=\ln k. Razão de frequências, medida num ponto só, sem sincronizar nada.
Acelerômetro e relógio de bordo. \varphi=\int a\,\mathrm{d}\tau. O astronauta sabe a própria rapidez sem olhar pela janela; a velocidade, não — ela precisa ser relativa a alguém.
Aceleradores. O LHC reporta y=\tfrac12\ln\frac{E+p_z}{E-p_z} porque diferenças de rapidez não mudam sob boosts ao longo do feixe.
A intuição pede velocidade; o Doppler, o acelerômetro e o detector entregam rapidez.
Apêndice · medir a rapidez (1 de 3)
Doppler: a rapidez é o logaritmo
Uma fonte que se afasta com v tem suas frequências multiplicadas pelo fator Doppler
É uma medida local: compara-se a frequência recebida com a conhecida da fonte — uma linha espectral, um pulso combinado — tudo num ponto só. Não há régua a esticar nem relógio distante a sincronizar, e é por isso que ela escapa da convenção de simultaneidade.
| v | \varphi | k |
|---|---|---|
| 0,2 | 0,2027 | 1,2247 |
| 0,6 | 0,6931 | 2,0000 |
| 0,8 | 1,0986 | 3,0000 |
| 0,99 | 2,6467 | 14,107 |
Compor boosts é multiplicar fatores
Duas fontes a v=0{,}6 em série: 2\times2=4, e 4 é o fator de v_3=0{,}882. A soma de rapidezes vira produto de fatores Doppler — é o k-calculus de Bondi, que constrói a relatividade inteira contando sinais de luz.
Apêndice · medir a rapidez (2 de 3)
Acelerômetro: a rapidez que se acumula a bordo
Com aceleração própria a — a que o acelerômetro de bordo marca, e que o astronauta sente nos pés —
As duas grandezas são medidas dentro da nave: um acelerômetro e um relógio de pulso. O astronauta sabe a própria rapidez sem olhar pela janela. A velocidade, não — ela exige dizer em relação a quem.
Viagem a 1g, que em unidades geometrizadas vale 1{,}03 por ano próprio:
| \tau (anos) | \varphi=a\tau | v=\tanh\varphi |
|---|---|---|
| 1 | 1,03 | 0,7748 |
| 2 | 2,06 | 0,9683 |
| 3 | 3,10 | 0,9959 |
| 5 | 5,16 | 0,999934 |
| 10 | 10,32 | 0,99999999 |
A rapidez cresce em linha reta; a velocidade satura. O motor empurra sempre igual, e é a rapidez — não a velocidade — que responde de forma proporcional ao esforço.
Apêndice · medir a rapidez (3 de 3)
Aceleradores: a variável que o detector reporta
No LHC, cada colisão acontece entre dois pártons que carregam frações diferentes do momento dos prótons. O referencial onde a colisão é simétrica muda a cada evento, e não é o do laboratório.
Uma variável cujas diferenças não mudam sob boosts ao longo do feixe vale ouro: a forma da distribuição em y é a mesma, apenas deslocada. Com velocidade não haveria como comparar dois eventos.
Quando a massa não é conhecida — o caso comum — usa-se a pseudorapidez, que sai direto do ângulo medido no detector:
| \theta | \eta | |
|---|---|---|
| 90° | 0,00 | transversal ao feixe |
| 45° | 0,88 | |
| 10° | 2,44 | |
| 1° | 4,74 | quase ao longo do feixe |
A medida é geométrica: um ângulo. Nenhuma velocidade é medida em momento algum.