A Física é uma ciência experimental

• Todo conhecimento físico — leis, princípios, modelos — vem de medidas, das partículas elementares às galáxias.
• Saber medir envolve:
  • manusear os instrumentos;
  • expressar corretamente a informação extraída deles;
  • operar matematicamente sem inventar precisão;
  • informar o quanto se pode confiar no resultado.

Método científico, na prática

1. Observação do fenômeno;
2. Formulação de hipóteses explicativas;
3. Teste das hipóteses através de experimentos;
4. Elaboração de uma teoria sobre o fenômeno estudado.

É na fase da experimentação que entram as medidas das grandezas físicas relacionadas ao fenômeno em estudo.

Grandezas físicas

Exemplo: comprimento e tempo são fundamentais; velocidade (\(\mathrm{m/s}\)) é derivada.

As sete unidades fundamentais do SI

Medir é comparar

Medir uma grandeza significa compará-la com outra da mesma espécie, definida como unidade, para verificar a relação numérica entre elas.

Sendo \(G\) a quantidade da grandeza e \(U\) a unidade convencionada, o valor numérico \(M(G)\) é a razão

Exemplo 1 — uma massa em uma balança

O número \(101{,}25\) só ganha sentido físico acompanhado do grama. Sozinho, não é uma medida.

Toda medida traz um erro provável

Os erros têm origens variadas, e a informação sobre eles obrigatoriamente faz parte do resultado:

• O sinal \(\pm\) indica que o erro provável tanto pode aumentar quanto diminuir o valor medido.
• A medida mais provável está na região \(\bigl[(M(G)-\Delta M)\,;\,(M(G)+\Delta M)\bigr]\,U\).

Exemplo 2 — a mesma massa, agora com incerteza

Ou seja: a massa está entre 101,21 g e 101,29 g, dadas as condições em que a medição foi realizada.

Múltiplos e submúltiplos

As unidades são apresentadas em múltiplos e submúltiplos conforme a escala da grandeza:

• dimensões atômicas → angstroms (\(10^{-10}\ \mathrm{m}\));
• dimensões terrestres → quilômetros (\(10^{3}\ \mathrm{m}\));
• distâncias entre estrelas → ano-luz ou parsec.

Medida direta e medida indireta

\(L_x\) e \(H_x\) têm erro individualmente — logo a área também tem. Esse erro propagado é o assunto da parte final da aula.

O que são algarismos significativos

• O algarismo duvidoso é significativo.
• Qualquer algarismo à direita do duvidoso não é significativo e não deve aparecer no resultado.
• O duvidoso é um indicativo da escala do instrumento.

Nesta apresentação, o algarismo duvidoso aparece assim: 11,3 cm

Exemplo 3 — a mesma tira de papel, três réguas

Exemplo 3 — as leituras corretas

A extremidade do objeto cai entre dois traços. O experimentador divide mentalmente esse intervalo em décimos e supõe a olho o último dígito.

E se a extremidade coincidir com um traço?

Fica ainda mais fácil: o algarismo duvidoso é simplesmente o zero.

Zeros: quando contam?

Precisão do instrumento

• A precisão do instrumento determina quantos algarismos significativos se consegue obter.
• Das três réguas, a milimetrada é a mais precisa: forneceu 4 algarismos.
• Para obter mais, é preciso um instrumento melhor — um paquímetro com escala em décimos de milímetro, por exemplo.

A escrita denuncia a escala

Quando alguém escreve 11,3 cm, está dizendo que usou uma régua centimetrada — porque o duvidoso está na primeira casa decimal.

“Mas isso é óbvio pela unidade!” Então mudemos a unidade:

A escala passou a ser o metro? Não. O duvidoso — 0,113 m — continua na mesma posição física: a casa dos décimos de centímetro.

“Mas apareceu um algarismo a mais!”

Alguém pode objetar: eram três (11,3 cm) e passaram a ser quatro (0,113 m).

Não. O zero à esquerda dos demais não é significativo; seu papel é ancorar a vírgula depois da mudança de unidade.

Quantos algarismos significativos há aqui?

Conte da esquerda para a direita, começando no primeiro algarismo diferente de zero.

Prefixos do SI

Prefixos — a tabela da apostila

Convertendo para unidades maiores

Um fio de linha medido com as três réguas:

Os zeros que surgem à esquerda não são significativos: apenas fixam a posição da vírgula. A quantidade de algarismos não muda em nenhuma linha.

Convertendo para unidades menores

Aqui mora a armadilha. Queremos escrever 18,7 dm em milímetros.

Convertendo para unidades menores — a tabela completa

1 Å = 10⁻¹⁰ m.

Notação científica

Considere: 30 dm, 300 cm e 3000 mm. Mesma dimensão, três medidas diferentes — dois, três e quatro algarismos significativos.

O expoente \(n\) representa a ordem de grandeza da medida.

As três medidas, agora em micrometros

Exemplos em notação científica

Conversões resolvidas — áreas e volumes

Em todos os casos, a quantidade de algarismos significativos é preservada.

Conversões resolvidas — unidades compostas

Repare que a unidade é operada exatamente como o número.

Conversões resolvidas — tempo

O princípio único

• Efetue a operação normalmente;
• arredonde apenas no final, conforme a regra da operação;
• apresente o resultado em notação científica, com unidade.

É natural precisar operar medidas feitas com instrumentos de precisões diferentes — é para isso que servem estas regras.

Exemplo 4 — somando tábuas

Primeiro passo: uma única unidade. A unidade de maior ordem é o dm, então convertemos para o dm ou para uma unidade superior — o metro.

Exemplo 4 — conversão para metros

O algarismo duvidoso viaja com a medida: mudar de unidade não o move de posição física.

Exemplo 4 — a soma

Onde um duvidoso participa da soma, o resultado naquela casa também é duvidoso. Mas o resultado só pode ter um duvidoso: o “menos duvidoso de todos”, o primeiro à esquerda — aqui, o 9 da segunda casa decimal.

Exemplo 4 — o arredondamento

Despreza-se tudo o que vem depois do 9. Como a parte desprezada está mais próxima de uma unidade acima, arredonda-se para cima.

Exemplo 4 — por outro caminho

Escrevendo cada medida como parte certa + parte duvidosa:

A parte duvidosa acumulada (0,0589 m) já é da ordem dos centímetros. Não faz sentido reportar milímetros ou décimos de milímetro no total.

Regra da adição

No Exemplo 4, a parcela mais pobre é 0,34 m — duas casas decimais. Logo o total tem duas casas decimais: 6,58 m.

Critérios de arredondamento

Arredonda-se no primeiro algarismo duvidoso à esquerda, desprezando o resto.

1º caso — parte desprezada maior que 5

2º caso — parte desprezada menor que 5

3º caso — parte desprezada exatamente 5

A última linha é a mais instrutiva: 9 aumenta para 10, e o resultado muda de ordem de grandeza.

Adição — exemplos de aplicação

A mesma soma, em três unidades

Três caminhos, o mesmo resultado. É assim que tem de ser: a unidade escolhida para fazer a conta não pode alterar a física.

Subtração

Do ponto de vista matemático, a subtração é idêntica à adição de números relativos — a regra é a mesma.

Exemplo 5 — cortando uma tábua

O primeiro duvidoso à esquerda é o 2. Despreza-se o 85 e arredonda-se: 0,43 m.

Exemplo 5 — leitura do resultado

O duvidoso do resultado, 0,43 m, está na casa dos centímetros — a mesma da régua decimetrada, a menos precisa das três usadas.

Contra-exemplo 6 — quando a regra deixa a desejar

Subtração — exemplos de aplicação

Exemplo 7 — a área de um retângulo

Multiplicamos as medidas feitas com a mesma régua — assim não é preciso converter nada.

Exemplo 7 — as três áreas

Repare: 2, 3 e 4 algarismos significativos — a quantidade do fator mais pobre em cada linha.

Exemplo 7 — por que 3 algarismos?

O “menos duvidoso de todos” é o 9. Tudo à direita dele é desprezado; como a parte desprezada é maior que 5, arredonda-se para cima.

Exemplo 7 — por certo + duvidoso

A parte duvidosa acumulada (98,26 cm²) já é da ordem da centena de cm². Reportar as casas decimais de 1495,26 seria fingir uma precisão que não existe.

Regra da multiplicação

No Exemplo 7: 127,8 cm tem 4 algarismos e 11,7 cm tem 3. Logo o produto tem 3 algarismos significativos.

Note a diferença em relação à adição: lá contavam-se casas decimais; aqui contam-se algarismos significativos.

Multiplicação — exemplos de aplicação

No último caso, 0,0001 m tem um algarismo significativo — e é ele quem manda no resultado.

Divisão

A divisão é idêntica à multiplicação pelo inverso: \(h \div g = h \cdot g^{-1}\). A regra, portanto, é a mesma.

Divisão — exemplos de aplicação

O último resultado é adimensional — cm dividido por cm. Mesmo assim as regras valem: 5 algarismos significativos, ditados por 2,2000 cm.

Radiciação, logaritmo, potenciação…

Operações em que a unidade também é operada

O último caso: 0,006 tem um algarismo significativo, então o resultado também tem um só.

Operações cujo resultado é adimensional

A quantidade de algarismos do resultado acompanha a da medida que entrou na função.

Fórmulas com uma única medida direta

Três algarismos significativos — os mesmos de 40,0 dm.

Fórmulas com duas ou mais medidas diretas

A altura tem apenas dois algarismos significativos — e é ela quem limita o resultado, mesmo a base tendo três.

Exemplo 10 — impedância de um circuito RLC

A medida direta mais pobre é a frequência, \(f = 60\ \mathrm{Hz}\), com dois algarismos significativos. O resultado terá dois.

Exemplo 10 — arredondando a cada passo

Exemplo 10 — arredondando só no final

A cada arredondamento intermediário descartamos informação. Uma forma de minimizar isso é operar a fórmula inteira e arredondar apenas o resultado:

Conversão por fator — exemplos

O fator de conversão também é uma medida: em três dos casos acima é ele quem limita o resultado.

Por que falar de erros

• Por mais preciso que seja o instrumento, os dados experimentais sempre contêm erros.
• Um número sem avaliação do erro não tem muito significado como medida.
• O valor real do erro permanece desconhecido — a teoria de erros limita-se a estimar o erro máximo que a medida pode ter.

a) Erro de escala

É o erro devido ao limite de precisão do instrumento.

A mesma costa, três réguas

Por que a régua menor dá um número maior

b) Erro sistemático

Perturba todas as medidas sempre da mesma forma, afastando os valores do valor provável em um sentido definido — sempre para mais ou sempre para menos.

O que se via: a galáxia M100

NASA / ESA

O que o Hubble ensina sobre medidas

No laboratório: desconfie quando dois instrumentos discordam — e não descarte o que parece “menos confiável” sem entender por quê.

c) Erro aleatório (randômico)

Ocorre totalmente ao acaso, sem qualquer sentido ou previsibilidade.

• É a soma de pequenas perturbações inevitáveis: vibrações, calor, campos externos, oxidações…
• Está fora do controle — e, na maioria das vezes, do conhecimento — de quem mede.
• Não pode ser evitado: tem de ser tratado estatisticamente.

Foi para tratar erros aleatórios que se desenvolveram as teorias estatísticas, inicialmente por Gauss.

Erro máximo

O erro máximo na medida, também chamado desvio da medida, é a soma de todos:

Na prática, o erro máximo costuma ser dominado por um dos três — por exemplo, quando o erro de escala é muito maior que os demais.

Média — o valor mais provável

Para um número infinito de medidas, a média aritmética é o valor verdadeiro. Na prática fazemos \(n\) medidas, e obtemos uma estimativa:

\(\bar{x}\) aproxima-se tanto mais do valor verdadeiro \(X\) quanto maior for \(n\). Por isso a média é chamada de valor mais provável da grandeza.

Desvio de uma medida

É a diferença entre a \(i\)-ésima medida e a média:

Esse desvio pode ser positivo ou negativo. Para estimar efetivamente o desvio, usa-se o desvio absoluto:

Desvio médio

É a média aritmética dos módulos dos desvios:

Comunica-se então: \(x = \bar{x} \pm \overline{\Delta x}\).

Desvio padrão da medida

Dá uma ideia da dispersão das medidas em torno do valor médio:

• Informa a incerteza com que um dado conjunto de medidas foi realizado.
• Fala sobre a precisão do instrumento e o rigor do processo.
• Dá a “largura” do valor mais provável.

Adotaremos, daqui em diante, o erro aleatório provável como sendo o próprio desvio padrão: \(\text{erro}_{\text{aleatório}} = \sigma_x\).

O que o desvio padrão mede na curva

No Exemplo 11, 37 das 50 medidas — 74% — caíram em \(\bar{L} \pm \sigma_L\). A teoria prevê 68,3%: perto, como se espera de 50 medidas.

Simulação · a curva se formando

Tábua de Galton

O procedimento padrão

1. Realizar as medidas (determinar os \(x_i\));
2. calcular a média \(\bar{x}\);
3. calcular os desvios de cada medida, \(\Delta x_i\);
4. calcular os \((\Delta x_i)^2\);
5. calcular o desvio padrão \(\sigma_x\);
6. informar o resultado no formato \(x = \bar{x} \pm \sigma_x\).

Exemplo 11 — 50 medidas de um comprimento

Total: n = 50 medidas.

Exemplo 11 — histograma

Exemplo 11 — a) valor mais provável

Exemplo 11 — b) desvio médio

E se usássemos os desvios com sinal?

Exemplo 11 — c) desvio padrão

Como o erro aleatório contribui tanto para mais quanto para menos:

Note que 37 das 50 medidas (74%) caem no intervalo \([240{,}7\,;\,241{,}3]\ \mathrm{cm}\), isto é, \(\bar{L} \pm \sigma_L\).

Mais medidas: o que melhora e o que não melhora

Afinal, o que devo calcular?

No Exemplo 11 obtivemos três respostas defensáveis:

Todas colocam o erro na casa do algarismo duvidoso. Como o erro de escala (0,5 cm) é maior que os demais, a rigor bastaria informar a última linha.

A motivação

• Muitas vezes medimos para comparar com um valor de referência — tabelado, esperado ou de especificação.
• Na indústria de papel, por exemplo, as máquinas precisam produzir folhas com dimensões dentro de uma tolerância máxima.
• O erro absoluto, isolado, pode levar a conclusões enganosas nessa comparação.

Exemplo 12 — controle de qualidade de uma folha

Erro relativo percentual

Tomando \(x_{\text{referência}} = 100\%\):

Depois de obter um valor médio, também é útil compará-lo com uma referência:

Como todo erro, o percentual pode ser para cima ou para baixo do valor de referência.

Exemplo 12 — a reviravolta

O percentual é adimensional: reduz grandezas diferentes a uma mesma linguagem de comparação.

O problema

• A grandeza de interesse (medida indireta) relaciona-se matematicamente com outras, medidas diretamente.
• Cada medida direta contém erro.
• Logo, a medida indireta tem um erro que é o resultado da propagação dos erros das diretas.

Sendo \(Y\) a medida indireta e \(x_1,\ldots,x_n\) as diretas:

Da diferencial ao desvio

A diferencial da função, em termos das variações de cada variável:

Substituindo as diferenciais pelas respectivas variações (desvios):

\(\partial f/\partial x_i\) é a derivada parcial: deriva-se a função apenas em relação àquela variável, tratando as demais como constantes.

Equação do erro indeterminado

As derivadas parciais podem ter qualquer sinal — e \(\Delta Y\) poderia até dar zero por cancelamento. Como o objetivo é o erro máximo provável, tomamos todas as contribuições como positivas:

Exemplo 13 — volume de uma calota esférica

Aqui \(Y = V\), \(x_1 = r\) e \(x_2 = h\). As derivadas parciais:

Exemplo 13 — o desvio propagado

Falta ainda o próprio volume, para saber em que casa arredondar o desvio.

Exemplo 13 — o resultado

Exemplo 14 — a área do retângulo, geometricamente

Com \(a = \bar{a} \pm \Delta a\) e \(b = \bar{b} \pm \Delta b\):

Confira: a equação do erro indeterminado dá exatamente esta expressão, já que \(\partial A/\partial a = b\) e \(\partial A/\partial b = a\).

Quando usar cada caminho

Exercícios I · 1 — faça a leitura e escreva em notação científica

Exercícios I · 1 — itens (e) e (f)

Exercícios I · 1 — itens (g), (h) e (i)

Exercícios I · 2 a 6 — questões conceituais

2. O que são os algarismos significativos de uma medida?
3. O algarismo duvidoso é significativo?
4. Qual é a diferença entre medida direta e indireta?
5. Os zeros à direita em uma medida são significativos? E à esquerda? Justifique e exemplifique.
6. O que significa dizer que um instrumento de medida é mais preciso do que outro?

Exercícios I · 7 a 10 — leituras, unidades e escalas

7. Dentre os conjuntos de medidas feitas com cada régua (decimetrada, centimetrada e milimetrada), indique quais estão erradas.
8. Para uma lista de medidas: identifique a unidade do intervalo entre as escalas do instrumento, converta para km, dam, hm, m, dm, cm, mm, μm e nm, transforme para angstroms em notação científica, aponte o algarismo duvidoso, conte os algarismos significativos e diga qual medida foi a mais precisa.
9. Repita a conversão para medidas de área.
10. Repita a conversão para medidas de volume.

As listas completas estão nas páginas 10 a 12 da Apostila 1.

Exercícios II — operações e arredondamento

Aplique as regras de operação e os critérios de arredondamento. Apresente o resultado em notação científica, com a unidade adequada.

1. Altura do álcool em um capilar: \(h = 2\delta/(\mu g r)\).
2. Frequência e período de um sistema massa-mola: \(f = \tfrac{1}{2\pi}\sqrt{K/m}\).
3. Momento de inércia de um cilindro que rola em plano inclinado: \(C = (ght^{2}/2L^{2})^{-1}\).
4. Calor de fusão do gelo em um calorímetro.
5. Coeficiente de dilatação linear: \(\alpha = \pi d\theta/(L_0\,\Delta T\,360^\circ)\).
6. Velocidade de um projétil pelo pêndulo balístico.
7. Nível de intensidade sonora: \(\mathrm{NIS} = 10\log(I/I_0)\).
8. Distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann para um gás.