Magneto­estática

Leitura física das duas equações

• \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\): o campo magnético não tem fontes escalares — linhas de \(\mathbf{B}\) não começam nem terminam.
• \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\): correntes estacionárias são as fontes do rotacional — elas "enrolam" o campo ao redor de si.
• A força exercida por \(\mathbf{B}\) sobre outra corrente \(\mathbf{j}'\) é \(\mathbf{F}=\int d^3r\,\mathbf{j}'\times\mathbf{B}\).

Fonte vetorial

A densidade de carga \(\rho\) é um escalar. A densidade de corrente \(\mathbf{j}\) é um vetor. Isso torna a equação \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\) intrinsecamente mais rica em estrutura.

Dois tipos de corrente

Campos magnéticos são produzidos por: (1) corrente elétrica de cargas em movimento e (2) corrente de magnetização — spin quântico de partículas. Isso torna a matéria magnetizável muito mais variada que a polarizável.

E e B: distinção relativa

A relatividade especial (Cap. 22) mostrará que a distinção entre \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{B}\) é apenas uma questão de referencial. Campos estáticos em um referencial tornam-se misturados em outro.

Eletrostática

A carga cria divergência. O rotacional é nulo. Linhas de \(\mathbf{E}\) começam e terminam. Potencial escalar \(\varphi\) domina.

Magnetostática

A corrente cria rotacional. A divergência é nula. Linhas de \(\mathbf{B}\) circulam. O potencial vetor \(\mathbf{A}\) emerge naturalmente.

O que seria um monopolo?

• O análogo magnético de uma carga elétrica: uma fonte pontual de divergência para \(\mathbf{B}\).
• Nenhum experimento reprodutível jamais detectou um monopolo magnético.
• \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) é o conteúdo matemático desta ausência.

Consequências

• Assimetria de Maxwell: \(\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0\) mas \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\). Polos não são fontes.
• Linhas de \(\mathbf{B}\): fecham sobre si mesmas, vão ao infinito em ambas direções, ou têm topologia mais complexa (Seção 10.6).
• Dirac (1931): se monopolos existissem, a carga elétrica seria naturalmente quantizada — uma das consequências mais elegantes da física teórica.

Implicações práticas

• Não é possível confinar partículas carregadas em um máximo de \(|\mathbf{B}|\) estático.
• Confinamento em mínimo de \(|\mathbf{B}|\) é possível (armadilhas magnéticas).
• Contrasta com o teorema de Earnshaw para \(\mathbf{E}\): nem máximo nem mínimo de \(\varphi\) existem em região sem cargas.
• Aplicado em fusão nuclear (tokamaks) e armadilhas de átomos frios.

A intuição operacional

• Corrente paralela a \(\mathbf{B}\): força local nula (\(\mathbf{j}\times\mathbf{B}=0\)).
• Corrente perpendicular: força máxima.
• O produto vetorial faz a geometria mandar no resultado — a força é sempre transversal.
• Aplicação imediata: motores elétricos, railguns, plasma confinado.

Corrente de volume

Onde \(\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'\). Condutor espesso ou plasma.

Corrente superficial

\(\mathbf{K}\) [A/m]: folha de corrente ou limite de camada fina.

Filamento \(I\,d\boldsymbol{\ell}\)

Substituição \(\mathbf{j}\,d^3r'\to I\,d\boldsymbol{\ell}\). Fio ideal (espessura irrelevante).

Passos do cálculo

• Escolher origem na projeção de \(P\) sobre o fio.
• \(|\mathbf{r}-\boldsymbol{\ell}| = \sqrt{r^2+\ell^2}\); \(\,d\boldsymbol{\ell}\times(\mathbf{r}-\boldsymbol{\ell})\) é perpendicular ao plano e constante em direção.
• \(\int_{\ell_b}^{\ell_c}\frac{d\ell}{(r^2+\ell^2)^{3/2}} = \frac{1}{r^2}\left[\frac{\ell}{\sqrt{r^2+\ell^2}}\right]_{\ell_b}^{\ell_c}\)
• Limite infinito: \(\ell/\sqrt{r^2+\ell^2}\to\pm 1\), soma \(= 2/r^2\).

Pontos importantes

• Resultado análogo ao campo elétrico no eixo de um anel carregado — mas diferente: aqui há um produto vetorial extra, por isso \(B\neq 0\) no centro enquanto \(E=0\) para o anel.
• Limite \(z\gg R\): campo de dipolo \(\sim 1/z^3\). O momento de dipolo magnético é \(m=I\pi R^2\).
• Esse resultado é a base para o cálculo do potencial escalar em 10.4.1.

O que é notável aqui

• O campo externo é exatamente zero para solenoide infinito — não apenas pequeno.
• O campo interno é exatamente uniforme, independente da seção transversal.
• Isso segue do ângulo líquido: quando \(P\) está fora, as contribuições de todos os elementos de \(C\) se cancelam.
• Importante para o efeito Aharonov-Bohm (Seção 10.5): mesmo sem campo, o potencial vetor \(\mathbf{A}\) fora é não-nulo!

Moral física

• A "rotacionalidade" de \(\mathbf{j}\) é o que cria o campo magnético.
• Uma corrente que "circula" (rotacional não-nulo) produz \(\mathbf{B}\neq 0\).
• Uma corrente que "flui para dentro ou para fora" sem circular não produz campo magnético externo.
• Isso é o análogo magnético do teorema de Gauss: é o caráter do fluxo que importa.

Liberdade de escolha da superfície

• Qualquer superfície \(S\) com bordo \(C\) dará o mesmo \(I_C\) — desde que \(\nabla\cdot\mathbf{j}=0\).
• Isso é garantido pela consistência da magnetostática (Seção 10.1.2).
• Na eletrodinâmica, a corrente de deslocamento \(\epsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t\) deve ser adicionada (Cap. 14).

1. Identificar simetria

Antes de integrar qualquer coisa: use argumentos de simetria (translação, rotação, reflexão) para determinar quais componentes de \(\mathbf{B}\) são não-nulas e de quais variáveis elas dependem.

2. Escolher caminho ampèreano

Escolher curva \(C\) onde \(|\mathbf{B}|\) é constante e \(\mathbf{B}\parallel d\boldsymbol{\ell}\) — então \(\oint\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B \cdot L_C\). O cálculo vira álgebra.

3. Calcular \(I_C\)

Determinar a corrente total que atravessa a superfície delimitada por \(C\). Então isolar \(B\): \(B = \mu_0 I_C / L_C\).

Translação em \(z\) e rotação em \(\phi\)

Invariância translacional em \(z\) e rotacional em \(\phi\): \(\mathbf{B}=\mathbf{B}(\rho)\). O campo depende apenas da distância radial \(\rho\).

Reflexão \(z\to -z\) (B é pseudovetor)

Sob reflexão no plano \(z=0\): \(I\to -I\), portanto \(\mathbf{B}\to-\mathbf{B}\). A componente \(B_z\) deve satisfazer \(B_z=-B_z\), logo \(B_z=0\).

Radial: proibida por \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\)

Componente radial \(B_\rho\neq 0\) criaria divergência: \(\nabla\cdot\mathbf{B}=(1/\rho)\partial(\rho B_\rho)/\partial\rho\neq 0\). Logo \(B_\rho=0\).

Vetores polares vs. axiais

• Vetores polares (posição, velocidade, força): sob reflexão espacial \(\mathbf{r}\to-\mathbf{r}\), transformam como \(\mathbf{v}\to-\mathbf{v}\).
• Pseudovetores (axiais): nascem de produto vetorial \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\). Sob reflexão, não mudam de sinal da mesma forma.
• Reflexão em \(z=0\): \(\mathbf{r}'=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}-z\hat{\mathbf{z}}\). A corrente \(\mathbf{j}=\rho\mathbf{v}\) é polar — suas componentes \(x,y\) ficam iguais, a \(z\) inverte.
• Como \(\mathbf{B}\) satisfaz \(\nabla'\times\mathbf{B}'=\mu_0\mathbf{j}'\): as componentes \(B_x, B_y\) invertem; \(B_z\) permanece.

Analogia com eletrostática

• Em eletrostática: \(\sigma = \epsilon_0\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{E}_{\rm out}\) (carga superficial relacionada ao campo externo normal).
• Em magnetostática: \(\mu_0\mathbf{K} = \hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{B}_{\rm out}\) (corrente superficial relacionada ao campo externo tangencial).
• Profunda simetria: ambas as condições expressam que o campo fora é sustentado pela distribuição de fonte na superfície.

Por que o campo médio?

• O elemento de corrente em \(\mathbf{r}_S\) é produzido pelo campo de todos os outros elementos.
• O campo da própria folha local é \(\pm\tfrac{1}{2}\mu_0\mathbf{K}\times\hat{\mathbf{n}}\) (diverge se tomado no limite de folha infinitesimal).
• O campo externo \(\mathbf{B}_S\) (de tudo exceto o disco local) é contínuo através da superfície.
• Esse resultado reaparece em energia magnética e tensões (Cap. 12).

Estratégia com \(\psi\)

• Funciona quando as correntes estão confinadas a superfícies separando sub-volumes sem corrente.
• Resolver \(\nabla^2\psi=0\) em cada sub-volume.
• Usar as condições de contorno (10.37) e (10.38) para "costurar" as soluções.
• Limitação: \(\psi\) pode ser multi-valorado — ver Seção 10.4.3!

Condições de contorno em termos de \(\psi\)

• Normal contínua: \(\hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0\) torna-se \(\hat{\mathbf{n}}\cdot(\nabla\psi_2-\nabla\psi_1)=0\) → continuidade de \(\partial\psi/\partial n\).
• Tangencial com salto: \(\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=\mu_0\mathbf{K}\) torna-se condição no gradiente tangencial de \(\psi\).
• Análogo exato do problema eletrostático com distribuição de carga superficial \(\sigma\).

Diferença fundamental com eletrostática

• O potencial elétrico \(\varphi\) é sempre contínuo (de \(\hat{\mathbf{n}}\times[\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1]=0\)).
• O potencial magnético \(\psi\) não precisa ser contínuo: a condição tangencial de \(\mathbf{B}\) envolve \(\mathbf{K}\neq 0\).
• Exemplo: espira circular — \(\psi\) é descontínuo em \(r=R\) mesmo que \(\mathbf{B}\) seja bem-definido.

Como determinar os coeficientes

• A relação \(B_\ell = -\frac{\ell}{\ell+1}A_\ell\) vem da condição normal.
• Os \(A_\ell\) vêm da condição tangencial, que envolve funções de Legendre associadas — complicado!
• Truque de Zangwill: calcular \(B_z(z)\) no eixo (mais fácil) e expandir em série de Legendre:

Estrutura das linhas de campo

• Perto da espira: linhas circulam em torno do fio (campo quase de "fio reto").
• Na região intermediária: expansão assimétrica em elipses.
• Longe da espira (\(r\gg R\)): linhas idênticas às de um dipolo elétrico puntual — essa é a razão profunda pela qual a estrutura dipolar é universal em campos estáticos.
• \(\psi\) é descontínuo em \(r=R\) — mas \(\mathbf{B}=-\nabla\psi\) é contínuo exceto na componente tangencial (que tem o salto \(\mu_0 K\)).

Por que é tão uniforme?

• Cada espira já tem \(B''(R/2)=0\) sozinha (ponto de inflexão de \(B_z(z)\)).
• A simetria da configuração elimina todas as derivadas ímpares.
• A primeira correção ao campo uniforme é de ordem \((z-R/2)^4\).
• Gaugain descobriu o princípio em 1853; Helmholtz soube e publicou. A prioridade foi disputada — Zangwill conta a história!
• Aplicações: IRM histórico, espectroscopia RMN, calibração de gaussmetros.

Quando \(\psi\) é aceitável

• \(\psi\) é univaluado quando o espaço \(V\) é simplesmente conexo — nenhum caminho pode encirclar uma corrente.
• Mas o espaço ao redor de uma espira de corrente é duplamente conexo: caminhos existem que enlaçam a corrente.
• Solução: inserir "superfícies barreira" que tornam \(V\) simplesmente conexo, impedindo caminhos de enlace.

A ideia geométrica

Insere-se uma superfície aberta \(S\) (a "barreira") que é delimitada pela espira de corrente \(C\). A barreira impede que caminhos de integração em \(V\) encirclem \(C\).

Exemplos de superfície barreira:

• Disco plano finito dentro da espira.
• Plano que se estende ao infinito através da espira.
• Superfície "de windsock" (comprida e curvada).

Com a barreira, \(\nabla^2\psi=0\) em \(V\setminus S\) e a condição de salto (10.59) funciona como condição de contorno em \(S\).

A condição de salto na barreira

Os dois lados \(A\) e \(B\) infinitesimalmente acima e abaixo da barreira têm potenciais que diferem de \(\mu_0 I\). Essa descontinuidade é uma condição de contorno — análoga à carga dupla em dielétricos.

Para o caso da espira circular com a superfície barreira plana, isso reproduz a descontinuidade já vista em \(\psi(r=R)\) na Seção 10.4.1.

O problema

Tomógrafos de IRM usam ímãs supercondutores que geram campos \(\mathbf{B}\) fortes. A ressonância magnética nuclear excita prótons no corpo humano. O contraste de imagem vem de diferenças na densidade e relaxação dos prótons em tecidos diferentes.

Problema: o campo de gradiente, produzido por bobinas auxiliares, deve ser zero fora do aparelho (não interferir com outros equipamentos).

Solução: blindagem ativa — um segundo cilindro externo com corrente \(\mathbf{K}_2\) escolhida para cancelar o campo fora.

Por que \(\mathbf{A}\) é importante

• \(\mathbf{A}\) é mais geral que \(\psi\): funciona onde quer que haja corrente (não requer \(\mathbf{j}=0\)).
• Papel quântico: o efeito Aharonov-Bohm (1959) mostra que \(\mathbf{A}\) tem realidade física — partículas quantum detectam \(\mathbf{A}\) mesmo onde \(\mathbf{B}=0\).
• O fluxo magnético se escreve elegantemente via \(\mathbf{A}\) (próximo slide).

Efeito Aharonov-Bohm (1959)

• No solenoide infinito: \(\mathbf{B}=0\) fora, mas \(\mathbf{A}\neq 0\) fora.
• Um elétron que orbita o solenoide (sem entrar no campo \(\mathbf{B}\)) detecta o fluxo \(\Phi_B = \oint\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}\) por interferência quântica.
• Demonstrado experimentalmente por Chambers (1960) e confirmado definitivamente por Tonomura et al. (1986).
• Mostra que \(\mathbf{A}\) — não \(\mathbf{B}\) — é o objeto fundamental da eletrodinâmica quântica.

Implicações práticas

• Diferentes calibres podem facilitar diferentes cálculos.
• Qualquer resultado físico (força, energia, \(\mathbf{B}\)) é independente de calibre.
• Em eletrodinâmica quântica: a invariância de calibre impõe a estrutura das interações eletromagnéticas.

Outros calibres úteis

• Calibre de Lorenz: \(\nabla\cdot\mathbf{A}+\mu_0\epsilon_0\partial_t\varphi=0\). Relativisticamente covariante, fundamental em eletrodinâmica dinâmica (Cap. 20).
• Calibre temporal: \(\varphi=0\). Usado em eletrodinâmica quântica.
• Calibre radial: \(\mathbf{r}\cdot\mathbf{A}=0\). Útil em certos problemas de simetria esférica.
• Em magnetostática estática: Coulomb é a escolha padrão.

Analogia com eletrostática

• \(\nabla^2\varphi = -\rho/\epsilon_0\) \(\leftrightarrow\) \(\nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{j}\)
• Cada componente cartesiana \(A_k\) satisfaz Poisson com fonte \(\mu_0 j_k\).
• Solução: integral de convolução com função de Green \(1/(4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|)\).
• Para corrente superficial: \(\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int dS\,\frac{\mathbf{K}(\mathbf{r}_S)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_S|}\)

O que aprendemos

• O potencial vetor diverge logaritmicamente para fontes de extensão infinita — mas o campo físico \(\mathbf{B}\) converge.
• Quando \(\mathbf{j}\) aponta na direção \(\hat{\mathbf{z}}\) (Cartesiana), então \(\mathbf{A}\) aponta em \(\hat{\mathbf{z}}\) — relação direta entre as direções de \(\mathbf{j}\) e \(\mathbf{A}\).
• Para correntes em \(\hat{\boldsymbol{\phi}}\) (azimutais): \(\mathbf{A}\) também aponta em \(\hat{\boldsymbol{\phi}}\) (Ex. 10.6).

Vantagem do duplo rotacional

• Quando a simetria fixa que \(\mathbf{A}\) tem um único componente, a equação do duplo rotacional pode ser mais fácil que a integral de Poisson.
• Evita calcular a integral divergente \(\int dz'/\sqrt{z'^2+\rho^2}\).
• Condições de contorno na superfície de corrente \(z=0\): salto de \(\partial A/\partial z\) determina os coeficientes da expansão em Bessel.
• Resultado para espira (Ex. 10.6): \(\mathbf{A}(\rho,z)=\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{1}{2}\mu_0 IR\int_0^\infty dk\,J_1(k\rho)J_1(kR)e^{-k|z|}\)

O que é reconexão?

A topologia de linhas de \(\mathbf{B}\) estáticas é fixada para sempre — em um campo estático, as linhas não podem se romper e reconectar.

Em situações quase-estáticas (as fontes mudam lentamente): a topologia muda quando as fontes se movem para uma configuração onde \(\mathbf{B}=0\) em algum ponto — o ponto nulo.

Nesse ponto, a conectividade das linhas de campo pode mudar abruptamente — duas linhas previamente desconectadas podem se juntar, e duas conectadas podem se separar.

Onde reconexão ocorre na natureza

• Ímãs em ferradura: a separação crítica entre dois ímãs cria um ponto nulo onde \(\mathbf{B}=0\) — a topologia muda de duas regiões independentes para uma conectada.
• Campo magnético interplanetário (IMF): reconexão ocorre quando o vento solar interage com o campo da Terra — causa tempestades geomagnéticas e auroras.
• Tokamaks e fusão nuclear: instabilidades de reconexão (modos de tearing) são uma causa de perda de confinamento do plasma.
• Prominências e flares solares: liberação catastrófica de energia quando linhas de campo reconectam.

Consequência: caos magnético

• A maioria dos Hamiltonianos é não-integrável (teorema KAM).
• Para \(f(\mathbf{r})\) genérico: as linhas de campo preenchem ergodicamente regiões do espaço — são caóticas.
• O espaço de fase \((x,y)\) da trajetória é o espaço real da linha de campo.
• Seções de Poincaré: ferramenta para visualizar o caos das linhas de campo.
• Relevante para: confinamento em tokamaks, campos magnéticos no núcleo da Terra, campo solar.

Por que helicidade importa

• Conservação: em MHD ideal (condutividade perfeita), \(h\) é rigorosamente conservada — as linhas de campo não podem se reconectar.
• Física solar: helicidade é injetada no campo solar pela rotação diferencial. Quando suficiente helicidade se acumula, ejeções de massa coronal (CMEs) expulsam o campo para conservar \(h\).
• Dínamos: o mecanismo de dínamo que sustenta o campo da Terra envolve geração de helicidade.
• Análogo em hidrodinâmica: helicidade de vórtice \(\int\mathbf{v}\cdot(\nabla\times\mathbf{v})\,d^3r\).

Mensagem para levar

Magnetostática é uma teoria de circulação: sem fontes escalares de \(\mathbf{B}\), mas com correntes que enrolam o campo ao redor de si. As linhas de campo podem ser complexas topologicamente — não fecham em geral, podem ser caóticas, e podem reconectar quando a topologia muda.

O potencial vetor \(\mathbf{A}\) tem realidade física própria (Aharonov-Bohm) e é o objeto fundamental de toda a eletrodinâmica — clássica e quântica.