Um fóton
Comprimento de onda menor significa fóton mais energético. É essa única relação que amarra cor, temperatura, transições atômicas e processos de alta energia.
Quem fez a pergunta
Gustav Kirchhoff. Em 1859 provou que a razão entre emissão e absorção é uma função universal de T e λ, a mesma para todo material — e deixou posto o problema de descobrir qual. Levou quarenta e um anos. — Domínio público
Duas leis, cada uma certa em uma metade
Wien, 1896: um ajuste que acerta o ultravioleta e despenca cedo demais no infravermelho. Rayleigh, 1900: sai da equipartição clássica, encosta em Planck no infravermelho distante — e sobe sem limite no outro extremo.
Quem não acreditou na própria resposta
Max Planck, fotografado por Rudolf Dührkoop por volta de 1910. Tinha 42 anos na tarde de dezembro em que apresentou a dedução, e era um conservador declarado: passou os anos seguintes tentando, sem sucesso, chegar à própria fórmula sem o quantum. — Domínio público · Wikimedia Commons
Onze anos depois, numa sala em Bruxelas
O primeiro Congresso Solvay, 1911. Entre os de pé, Planck é o segundo à esquerda, com Rubens ao lado; Einstein é o segundo à direita. Sentados, Wien e Marie Curie. — Benjamin Couprie, domínio público
A lei de Planck, em quatro temperaturas
Em log-log o efeito é duplo: o pico anda para a esquerda (Wien) e a curva inteira sobe, porque o fluxo integrado cresce com T⁴. Nenhuma curva cruza outra — a estrela mais quente emite mais em todo comprimento de onda, não só no azul.
A lei de Wien
A regra que explica por que estrela fria parece avermelhada e estrela quente puxa para o azul. Não use mecanicamente: atmosferas reais têm linhas, bandas moleculares, opacidade dependente do comprimento de onda e poeira no caminho.
A mesma lei, em unidades de trabalho
λ em nanômetros, T em kelvin. É esta a forma que vai ser digitada no laboratório.
Mas o Sol não é um corpo negro
O envelope é bem reproduzido; os desvios é que são informativos. No ultravioleta o Sol entrega só 65% do previsto — a opacidade cresce e a radiação escapa de camadas mais altas e frias. No infravermelho, supera o ideal em 19%. Corpo negro é ponto de partida, não descrição completa.
Antes de aplicar Wien: o que o detector mede
Um espectro não começa como fluxo físico: começa como contagens. R é a resposta instrumental, N é o ruído, e D é a corrente escura — o sinal que o detector produz sozinho, por agitação térmica, mesmo com o obturador fechado. Ela dobra a cada 6 ou 7 °C, e é por isso que detectores astronômicos são resfriados.
A redução tenta desfazer isso
Subtrair o dark, dividir pela resposta instrumental. Só depois disso a curva na tela tem alguma relação com a curva que a estrela emitiu.
Por que calibração não é burocracia
Mesma estrela, mesmo espectro. Em cima, o contínuo calibrado; embaixo, o mesmo espectro bruto, cujo pico a resposta instrumental empurrou para 610 nm. 820 K de diferença, e nenhum sintoma na tela avisando.
Stefan-Boltzmann
Potência emitida por unidade de área de superfície. Cresce com a quarta potência: dobrar a temperatura multiplica a emissão por dezesseis.
O que de fato chega até nós
A divisão de trabalho do capítulo inteiro: a temperatura vem da forma do espectro; o raio e a distância entram apenas na normalização do fluxo.
Vidro colorido: o caso simples
Filtros de vidro absorvente: o corante no vidro absorve certos comprimentos de onda e deixa outros atravessarem. É a mesma física de um vitral, e foi assim que a fotometria começou. O nome gravado no aro diz a banda. — Dmitry Makeev, CC BY-SA 4.0 · Wikimedia Commons
Interferência: o caso moderno
Um filtro de interferência não absorve: é uma pilha de dezenas de camadas finas sobre a lâmina, e as reflexões entre elas se cancelam em todo comprimento de onda menos numa faixa estreita, que atravessa. O verde que se vê é a própria banda que ele deixa passar. Bordas muito mais abruptas que as do vidro. — Geek3, CC BY-SA 4.0 · Wikimedia Commons
Em escala de observatório
A câmera do Observatório Vera C. Rubin e seus seis filtros ugrizy, cada um com 75 cm — a pessoa à direita dá a escala. Só um fica no caminho da luz por vez; trocar de banda é trocar de filtro, mecanicamente. Imagem de divulgação. — Todd Mason, Mason Productions Inc./Vera C. Rubin Observatory/NOIRLab/NSF/AURA, CC BY 4.0
O que cada filtro deixa passar
O sistema Johnson-Cousins, sobre o espectro de uma estrela como o Sol. Nenhum filtro é um corte limpo: cada um tem um pico, ombros e asas, e bandas vizinhas se sobrepõem. A largura a meia altura é o que se chama de largura da banda. Curvas representativas do sistema, não os dados de um fabricante.
O que o detector realmente soma
O diagrama inteiro da fotometria em três painéis: o espectro que chega, a transmissão do filtro, e o produto dos dois. A contagem é a área do terceiro painel — e é por isso que a próxima equação tem uma integral de Fλ vezes S(λ) no numerador.
Cor: um filtro mede uma média
Nenhum filtro mede um comprimento de onda único. Ele integra o fluxo pesado pela curva de transmissão — e é essa média que vira magnitude.
O índice de cor
Já definido no Capítulo 2, lá com a constante de ponto zero. Entre alvos medidos no mesmo instrumento a constante se cancela, e basta a razão de fluxos.
De onde sai o sinal do índice
As mesmas duas bandas, em duas estrelas. Na fria sobra fluxo no V e o índice fica positivo; na quente sobra no B e ele fica negativo. Sem o ponto zero estes não são os valores de catálogo — o que vale aqui é o sinal e a ordem entre as duas.
Cor a partir de fluxos
Com FB/FV = 1,20 daria B−V ≈ −0,20: espectro mais azul e, em geral, temperatura efetiva maior.
Só que poeira também avermelha
A advertência do Capítulo 2, que vale para qualquer trabalho fotométrico. Cor observada só vira temperatura depois de descontada a extinção.
As cores de alguns átomos
Sais dissolvidos em metanol, queimando. Da esquerda para a direita: lítio, estrôncio, cálcio, sódio, bário, boro, cobre, césio e potássio. A chama é a mesma em todos; o que muda é o átomo que está dentro dela. — Hegelrast, CC BY-SA 4.0 · Wikimedia Commons
A mesma cor, aberta em comprimento de onda
Aberta num prisma, cada cor vira linhas em posições fixas. O sódio é quase só o dupleto de 589 nm — o amarelo do poste de rua; o neônio tem duas dúzias delas no vermelho. À direita, a cor que a soma produz no olho.
Emissão e absorção: as mesmas linhas
Um gás fino e quente emite nas suas linhas; o mesmo gás, mais frio e diante de um contínuo, tira exatamente aquelas linhas dele. As letras são as de Fraunhofer, que as catalogou no Sol em 1814 sem saber o que eram.
O efeito Doppler
Espectros viram medidores de movimento. É assim que se descobrem binárias espectroscópicas, rotação estelar, expansão de nebulosas, discos de acreção, exoplanetas por velocidade radial e o desvio para o vermelho das galáxias.
Hα deslocada
Um deslocamento de 0,23 nm sobre 656 nm já são 105 km/s. O sinal negativo indica aproximação. Em qualquer entrega, informe a linha, o comprimento de onda de repouso, o observado e o sinal.
O mesmo espectro, deslocado
Em cima, um espectro com z = 0,045 — uns 13 mil km/s: o deslocamento se vê a olho nu, e todas as linhas andam juntas. Embaixo, o caso estelar: o mesmo Hα do exemplo anterior, deslocado 0,23 nm.
Fluxo integrado
Não é o fluxo bolométrico: falta a radiação fora da faixa observada. Serve para comparar objetos medidos com o mesmo instrumento e a mesma redução — e só.
De onde vem a luz, e de onde vem o fundo
Fotometria de abertura e PSF são do Capítulo 3, inclusive o raio ótimo de 1,5 vez a largura a meia altura. O que muda aqui: a mesma operação passa a ser feita comprimento de onda a comprimento de onda.
O que custa ignorar o fundo
A abertura de fundo tem área quatro vezes maior, então entra dividida por quatro. Ignorá-la superestimaria o fluxo em 6% — o bastante para deslocar temperatura por cor, fluxo integrado e profundidade de linha.
O campo, e as duas aberturas
Seis alvos no campo, e dezenas de estrelas de fundo. Em azul, a abertura sobre a estrela; em verde, a de fundo, numa região limpa. O painel da direita diz a fração da luz que a abertura coletou — aqui 89% — e conta os fótons acumulados.
O espectro depois de 8 segundos
1659 fótons contados. O branco é o que caiu na abertura da estrela, o verde é o fundo escalado pela razão de áreas, e o azul é a diferença — o espectro que interessa. Neste ponto ele é só ruído: não dá para dizer nem onde está o pico.
O mesmo alvo, 2500 segundos depois
167 mil fótons, cem vezes mais. Agora o contínuo tem forma, o pico tem lugar e as quedas das linhas aparecem. Nada mudou na estrela — mudou quantos fótons foram contados. É o Experimento 1, e é a razão de toda exposição astronômica ser longa.
E então a física entra
Na aba Inferência física, a curva dourada é um corpo negro cuja temperatura você ajusta até encostar no contínuo observado. A leitura de λmáx e a temperatura saem daí. É o Experimento 4, e é a Travessia 1 inteira em uma tela.
Antes de qualquer lei: intensidade específica
Energia que atravessa uma área, num intervalo de tempo, dentro de um ângulo sólido em torno de uma direção, e num intervalo de frequência. Unidade: W m−² sr−¹ Hz−¹. O esterradiano é o ângulo sólido do Capítulo 1.
Os momentos da intensidade
Integrar com peso cosθ dá o fluxo; sem peso, a densidade de energia; com peso cos²θ, a pressão de radiação. Três grandezas, uma função.
Campo isotrópico
P = u/3 é a equação de estado da radiação. Reaparece na estrutura estelar, na cosmologia do universo primordial e em discos de acreção — e vale para qualquer gás ultrarrelativístico, não só fótons.
A equação de transporte radiativo
Ao percorrer um caminho dentro de um meio, a intensidade perde energia por absorção e ganha por emissão. κ é a opacidade; j, o coeficiente de emissão.
Duas definições, e ela fica canônica
Profundidade óptica e função fonte. A equação vira uma diferencial linear de primeira ordem — e o resto é fator integrante.
Solução formal
Leitura direta: o primeiro termo é a radiação de fundo atenuada exponencialmente; o segundo é o que foi emitido ao longo do caminho, cada pedaço atenuado pelo que resta à sua frente.
Dois regimes, e é aqui que a ficha cai
Se o meio é opticamente espesso e a função fonte varia devagar, a intensidade emergente iguala a função fonte local — que em equilíbrio termodinâmico local é a função de Planck. Estrelas irradiam como corpos negros porque τ ≫ 1 na fotosfera, e não por coincidência empírica.
Etapa 1: contar modos
Ondas estacionárias numa cavidade cúbica de paredes condutoras. O octante de esfera no espaço dos índices, vezes dois para as polarizações. Nada de quântico ainda.
Etapa 2, versão clássica
Equipartição dá kT por modo. O resultado é a lei de Rayleigh-Jeans — que diverge ao integrar em frequência. É a catástrofe do ultravioleta, e é um sintoma de que a física clássica está errada, não uma aproximação ruim.
Etapa 2, versão de Planck
A energia de um modo só pode valer múltiplos inteiros de hν. Com a distribuição de Boltzmann, numerador e denominador são séries geométricas — e o resultado sai em duas linhas.
O resultado
Densidade de modos vezes energia média por modo, convertida de densidade de energia em intensidade. Uma constante nova, h, e toda a termodinâmica da radiação.
A mesma lei, em comprimento de onda
Obtida exigindo que Bλdλ = Bνdν. Vale notar: Bν e Bλ têm picos em posições diferentes — elas não descrevem a mesma coisa, e sim densidades por unidade de frequência e por unidade de comprimento de onda.
Os dois limites
Em baixa frequência recupera-se Rayleigh-Jeans — por isso radioastronomia mede temperatura de brilho diretamente proporcional à intensidade. Em alta frequência, a cauda de Wien, exponencialmente suprimida.
Wien, deduzida
Derivar Bλ, igualar a zero e resolver a transcendental. A constante de Wien não é empírica: é hc sobre 4,965 k — três constantes fundamentais e a raiz de uma equação.
Stefan-Boltzmann, deduzida
Integrar a função de Planck sobre todas as frequências e sobre o hemisfério. A integral adimensional que sobra é tabelada: Γ(4)ζ(4).
E a constante aparece sozinha
Novamente uma combinação de k, h e c, não um parâmetro ajustado. Toda a lei L = 4πR²σT⁴, usada dezenas de vezes na apostila, repousa nessa integral.
A conta que faltava
Fecha a equação de estado deixada em aberto lá atrás: agora P = u/3 tem um valor. É esta forma que a Aula 8 usa para comparar pressão de radiação com pressão de gás, e é dela que sai o w = 1/3 do fluido de radiação na cosmologia.
Coeficientes de Einstein
Três processos entre dois níveis: absorção, emissão espontânea e emissão estimulada. Em equilíbrio estatístico, as taxas se equilibram.
As relações de Einstein
Conteúdo notável: são propriedades atômicas, deduzidas por um argumento termodinâmico, e valem mesmo fora de equilíbrio. A dependência ν³ é a razão de transições ópticas decaírem em nanossegundos enquanto a de 21 cm leva milhões de anos.
Boltzmann: quem está excitado
A razão de populações entre dois níveis de excitação do mesmo átomo, em equilíbrio térmico.
Saha: quem já foi ionizado
O fator entre parênteses é a densidade quântica de estados do elétron livre; o 1/ne diz que ionização é favorecida quando há poucos elétrons disponíveis para recombinar.
As duas juntas explicam OBAFGKM
Balmer exige o elétron em n = 2. Em estrela fria, Boltzmann suprime a população; em estrela quente, Saha remove os átomos neutros. Este modelo simples (Pe = 20 Pa) põe o máximo em 9900 K; o máximo observado fica nas A0–A2, por volta de 9500 K. Força de linha não mede abundância: mede abundância vezes a fração no estado certo, e essa fração depende exponencialmente de T.
Doppler: a versão que se deve usar
A forma simples é o limite de β ≪ 1. O Doppler transversal é puramente relativístico, sem análogo clássico, e importa em jatos e discos perto de objetos compactos.
E o que não é Doppler
O desvio para o vermelho cosmológico não decorre de movimento através do espaço, e sim da expansão do próprio espaço enquanto a luz viaja. Converter z em velocidade por Doppler perde o sentido físico, e perde também a precisão para z da ordem de 1. É um dos erros conceituais mais comuns da área.
Alargamento: nenhuma linha é estreita
Em cima, o alargamento natural: tempo de vida finito, energia indefinida, perfil lorentziano. Embaixo, o térmico, gaussiano. Note a dependência m−½: linhas de hidrogênio são intrinsecamente mais largas que as de ferro à mesma temperatura.
O perfil de Voigt
Núcleo gaussiano dominado por Doppler, asas lorentzianas dominadas por colisões e amortecimento natural. Ajustar um Voigt e separar as duas contribuições entrega, de uma vez só, temperatura e densidade da camada onde a linha se forma.
A equação em geometria plano-paralela
Agora τ é medido para dentro da atmosfera — convenção oposta à do caminho s usado antes, e é isso que troca o sinal. É esta forma que se integra em ângulo.
Os três momentos
J é a intensidade média, H é proporcional ao fluxo, K é proporcional à pressão de radiação.
Ordem zero e ordem um
Integrando em μ: o momento de ordem zero, com fluxo constante em equilíbrio radiativo, impõe J = S. Multiplicando por μ antes de integrar: o momento de ordem um. Esta segunda é exata.
O fecho de Eddington
O sistema tem três incógnitas e duas equações. Supor o campo quase isotrópico dá K = J/3 — exatamente a mesma relação P = u/3 de antes. A condição de contorno na superfície, sem radiação entrando, fixa J(0) = 2H.
O perfil de temperatura da atmosfera cinza
Duas páginas de conta, e sai um resultado que vale para qualquer estrela.
Três consequências
(a) T = Tef exatamente em τ = 2/3 — daí vem a definição operacional de fotosfera usada em todo lugar; na superfície a temperatura não é zero, e sim 84% da efetiva. (b) O escurecimento de bordo sai da relação de Eddington-Barbier com u = 3/5; o Sol medido no visível dá 0,6 a 0,7.
Escurecimento de bordo, em duas linhas
A intensidade emergente numa direção é a função fonte avaliada em τ = μ. Uma aproximação grosseira reproduz um fenômeno observado com dez por cento de precisão — e explica por que o disco solar tem borda escura, por que o fundo de um trânsito planetário é curvo, e por que ignorar isso enviesa raios planetários.
As fontes de opacidade
Thomson: independente de frequência e temperatura, domina em interiores quentes e totalmente ionizados — é por ser constante que a Aula 8 consegue tirar L ∝ M³ por homologia. Kramers: o expoente negativo é crucial, a opacidade cresce ao esfriar, e é isso que torna envelopes opacos e favorece convecção.
A média de Rosseland
Média harmônica, e a escolha não é arbitrária: em transporte difusivo a energia escoa preferencialmente pelas frequências mais transparentes. Uma média aritmética superestimaria grosseiramente a opacidade efetiva.
Nem toda radiação é térmica: síncrotron
Um elétron relativístico espiralando num campo magnético. A dependência γ² aparece nas duas expressões — e é ela, muito mais que o campo, que decide a banda: γ = 10⁴ em 1 µG emite em 400 MHz; para raios X com o mesmo campo seria preciso γ ~ 10⁸, que é o que se observa em SN 1006.
O espectro em lei de potência
Se os elétrons seguem uma lei de potência em energia, o espectro integrado também segue. Fermi de primeira ordem em choques fortes prevê p = 2 exatamente (Aula 10); o valor observado, depois de propagação e escape, fica em torno de 2,4 — e dá o índice −0,7 medido no fundo de rádio galáctico.
Como se distingue uma da outra
Térmico tem pico, e a posição do pico mede a temperatura. Não térmico é reta descendente em todas as bandas, e nenhuma temperatura produz isso. Medir o espectro em várias frequências é o diagnóstico primário para identificar partículas relativísticas numa fonte. De quebra, a tracejada mostra para onde a física clássica ia.
Laboratório de dados 3 — a temperatura do Sol
Irradiância espectral solar medida acima da atmosfera, de 200 a 2400 nm. Três leis independentes sobre o mesmo arquivo.
Wien no pico, trapézio para integrar, Stefan-Boltzmann invertida com R☉ e 1 UA.