Primeira lei: inércia
O enunciado é vetorial, e isso não é detalhe: constante em módulo, direção e sentido. Um corpo em movimento circular uniforme tem rapidez constante e mesmo assim está acelerado — a direção de v muda. É o caso de todo planeta.
Segunda lei: força é taxa de variação do momento
Escrever a forma completa não é preciosismo: o termo v·dm/dt governa foguetes, estrelas que perdem massa em vento e objetos que acretam de uma companheira. Neste capítulo as massas são constantes.
Terceira lei: ação e reação
A mais subestimada das três, e a que fará mais trabalho aqui: dela virá a simetria entre as duas massas na lei da gravitação, e dela virá a soma m₁+m₂ na terceira lei de Kepler.
Primeiro, um lema
Se |r| é constante, então v ⊥ r.
Produto escalar nulo entre vetores não nulos significa perpendicularidade: em qualquer movimento sobre uma circunferência, a velocidade é tangente. Vale em qualquer número de dimensões e não usa nada além da regra da cadeia.
Duas leituras da mesma figura
Duas posições separadas por um ângulo pequeno θ, percorridas em Δt. Em cima: no espaço, a corda tende ao arco. Embaixo: nas velocidades.
O vetor velocidade gira do mesmo ângulo θ que o raio: dois vetores obtidos girando de 90° duas direções separadas por θ estão eles próprios separados por θ.
E sai a aceleração centrípeta
Nada de gravitação entrou até aqui — só geometria e a definição de aceleração.
Os dois ingredientes
A terceira lei entra aqui como fato empírico, do jeito que Kepler a deixou: K é uma constante que depende só das unidades.
A velocidade cai com a raiz da distância
E a força, com o quadrado
Falta a massa do Sol. Ela entra pela terceira lei de Newton: o planeta puxa o Sol com força de mesmo módulo, e o mesmo raciocínio aplicado ao Sol daria F ∝ M/r².
A lei da gravitação universal
Uma única expressão que satisfaça as duas proporcionalidades ao mesmo tempo é o produto. Universal no sentido forte: o mesmo G para a maçã, para a Lua, para Júpiter e para uma galáxia. Cavendish só o mediria em 1798, 111 anos depois dos Principia.
O arranjo
Repare na assimetria: a força gravitacional depende da separação; as centrípetas, de cada raio individual.
A massa some do próprio lado
m₁ cancela dos dois lados — e é exatamente por isso que a órbita mede a massa do outro corpo, nunca a sua própria. Fazendo o mesmo com F₂ sai a relação simétrica.
Somando as duas
Dividir uma pela outra, em vez de somar, recupera m₂/m₁ = r₁/r₂ — a definição de centro de massa. Boa aferição de que nada se perdeu.
Ao contrário, é um instrumento de medida
Duas grandezas geométricas — um tamanho e um tempo — entregam uma massa em quilogramas. A segunda forma reaparece o curso inteiro: estrelas no centro galáctico, gás em discos, matéria em aglomerados.
O sistema de unidades em que a conta some
Períodos em anos, distâncias em UA, massas em massas solares. É nessa forma que o laboratório deste capítulo é feito: entra a e P, sai massa, sem nenhuma constante física pelo caminho.
Exemplo: a massa de Marte, a partir de Deimos
PD = 1,262 dias, aD = 23 500 km. Compare com o par Terra–Lua: PL = 27,3 dias, aL = 384 000 km.
Tabelado: 0,107 M⊕. Em massas solares, comparando com o par Sol–Terra, sai 3,2×10⁻⁷ M☉. Repare no que não foi preciso: nem G, nem a massa da Terra, nem converter unidades. Toda medida de massa em astronomia é, no fundo, uma comparação entre duas órbitas.
As duas equações de movimento
Com r = rm − rM, o vetor que aponta do corpo central para o que orbita.
A potência r³ no denominador aparece porque é o vetor r, e não o versor, que está no numerador. A segunda equação é a primeira lida pela terceira lei de Newton.
Somar elimina a força; subtrair elimina o referencial
Somando: o centro de massa move-se em linha reta, e o problema perde três graus de liberdade. Dividindo cada uma pela sua massa e subtraindo: a equação do movimento relativo — idêntica à de uma única partícula orbitando um centro fixo de massa Mtot. Dois corpos viraram um.
Multiplicando por ṙ: energia
Os dois termos são derivadas totais disfarçadas. A identidade r·ṙ = rṙ será usada de novo adiante. O sinal de ε decide o destino: negativo, o corpo volta sempre; nulo ou positivo, não volta.
Multiplicando por r: momento angular
O termo da força morre porque o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero — é aqui que entra a informação de que a força é central. Como ℓ é constante e perpendicular a r, o movimento é plano. Só se usou que a força é central; a forma 1/r² não entrou.
Multiplicando por ℓ: a identidade do duplo produto
(a×b)×c = (a·c)b − (b·c)a
Com a = r, b = ṙ e c = r. Na última passagem entra de novo r·ṙ = rṙ.
O colchete é uma derivada exata
É a derivada do versor radial. E o lado esquerdo também é derivada, porque ℓ é constante. A equação toda é uma igualdade entre duas derivadas — e integra-se de imediato. β é o vetor constante de integração.
Multiplicando (A) por r
O lado esquerdo se simplifica com a identidade do produto misto: a·(b×c) = (a×b)·c. Sobra ℓ², e do outro lado a projeção de β sobre r.
E a primeira lei emerge
Não foi suposta em momento nenhum: ela é a solução. Como r é mínimo quando cos θ = 1, o vetor β aponta para o pericentro — é a direção do periélio escrita como constante de movimento. A menos do fator GMtot, é o vetor de Laplace–Runge–Lenz.
A excentricidade é energia disfarçada
Tomando o módulo ao quadrado de β = ṙ×ℓ − GMtotr̂ e reagrupando, aparece exatamente a combinação que define ε. A correspondência é exata: e < 1 ⟺ ε < 0 (ligada), e = 1 ⟺ ε = 0 (escape), e > 1 ⟺ ε > 0 (livre).
A segunda lei: velocidade em polares
Uma componente radial, que aproxima ou afasta, e uma tangencial, que gira. A área varrida é a de um triângulo de lados r e dr — e sua taxa é metade de ℓ, que é constante. Áreas iguais em tempos iguais.
A terceira lei, sem supor círculo
Integrando a taxa areal ao longo de um período, a área total é a da elipse inteira, πab. O fator (1−e²) cancela: a excentricidade sumiu. Um cometa e um asteroide de mesmo semieixo maior voltam juntos.
Energia orbital e vis-viva
Substituindo ℓ² = GMtota(1−e²) na relação entre e e ε, o fator (1−e²) cancela e sobra −GM/2a: a energia depende só do semieixo maior, como o período. Igualando às duas expressões de ε sai a vis-viva.
A velocidade de escape
Escapar custa exatamente √2 vezes a velocidade circular. Para a Terra, 11,2 km/s; para uma anã branca de massa solar e raio terrestre, 6 455 km/s — 2% da velocidade da luz.
Onde o corpo está em cada instante
A anomalia excêntrica E vem da projeção da elipse sobre o círculo circunscrito. A equação de Kepler é transcendental: não há solução fechada. Resolve-se por Newton-Raphson em poucas iterações — é o cálculo que toda efeméride faz milhões de vezes por dia.
Razão, amplitude e função de massa
O fator sen i aparece porque só se mede a projeção na linha de visada — é a limitação fundamental do método. Tudo do lado direito de f(m) é observável: se apenas uma componente é vista, f(m) é um limite inferior para m₂, e quando ele excede a massa máxima de uma estrela de nêutrons, a companheira invisível não pode ser outra coisa.
As leis de Kepler, do Capítulo 4
Painel (b): as duas famílias caem sobre retas de inclinação 3/2 com coeficientes diferentes. Agora sabemos o que o coeficiente é: 4π² sobre G vezes a soma das massas.
O teorema do virial
Para um sistema ligado em equilíbrio, a média temporal de d²I/dt² se anula. Se o sistema perde energia, E diminui — e portanto K aumenta. Ele esquenta ao esfriar.
Forças de maré e o limite de Roche
A dependência é d⁻³, não d⁻². Por isso a Lua domina as marés terrestres apesar de o Sol ser muito mais massivo: o que conta é M/d³, e nisso a Lua ganha por 2,2 vezes. No limite de Roche os raios do satélite cancelam; incluir a deformação troca o 1,26 por 2,44.
O potencial efetivo e a constante de Jacobi
Coriolis não deriva de potencial, mas não realiza trabalho. Sobra uma integral de movimento que define regiões proibidas.
Os cinco pontos de Lagrange
(a) As curvas destacadas passam por L₁ a L₄ — a de L₁ é o oito que define os lóbulos de Roche. (b) A escala real: a raiz cúbica achata tudo, e no sistema Sol–Terra L₂ fica a 1,5 milhão de km, um centésimo da distância ao Sol.
Onde ficam, e quais são estáveis
L₁, L₂ e L₃ são instáveis — missões ali gastam algumas dezenas de m/s por ano em manutenção. L₄ e L₅ são estáveis se a razão de massas passar de 24,96, o que Sol–Júpiter satisfaz com folga: são os troianos.
O que o laboratório pede
Agrupe por corpo central, tire a média de cada grupo e converta para quilogramas. Pelos planetas sai 1,00 M☉; pelas luas galileanas, M☉/1047 — a massa de Júpiter.